摘 要提出了一类变圆弧齿轮。利用偏差函数法，给出了齿廓的完整构造过程，证明了它满足齿廓啮合基本定律；推导了齿廓方程等基本公式，讨论了变圆弧齿轮的特性，给出了变圆弧齿廓的实例；这种齿轮具有较高的承载能力，特别便于高速、高精度数控加工，它将在重载传动场合得到应用。
关键词 齿轮 齿廓 偏差函数 啮合原理 齿轮强度
引言 随着科学技术的发展，对齿轮传动的要求也不断提高，特别在重载和小型化方面尤为突出。目前，在齿轮设计中常用的有渐开线、摆线和圆弧3种齿廓；其中，渐开线齿轮由于制造简单，对中心距偏差不敏感等优点，得到广泛使用，但是，它承载能力较差，较少用于重载传动中；摆线齿轮接触应力小，齿廓的重合度较大，有利于弯曲强度的改善，但对啮合齿轮的制造和装配精度要求较高；上世纪50年代出现的圆弧类齿轮弯曲强度不高，为了实现连续接触，一般需做成斜齿轮，在制造和小型化方面受到了极大地限制。为了提高齿轮的承载能力，研究人员提出了许多新型齿廓，例如：微线段齿轮齿廓，分阶式双渐开线齿轮等，对提高齿轮的强度能起到一定作用，但是，这些新齿廓在制造或装配等方面还存在某些不足。本文从偏差函数概念出发，提出了一种新型齿轮——变圆弧齿轮。文中介绍了变圆弧齿轮的形成原理，推导了齿廓计算公式，讨论了变圆弧齿轮的特性，给出了齿廓实例。
1 变圆弧齿廓的形成原理1．1 变圆弧齿廓的形成原理 下面根据美国学者D.C.H.Yang等提出的偏差函数（DF）法，介绍变圆弧齿廓的形成原理。 设P[sub]1[/sub]是半径为1的齿轮节圆，θ[sub]1[/sub]为转角，以e（θ[sub]1[/sub]）为半径，圆心均匀分布在节圆上，画出一系列的圆，如图1所示（这里取e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]0[/sub]COS（2θ[sub]1[/sub]）；当e（θ[sub]1[/sub]）满足一定的约束条件时，这一系列的圆可以包络出光滑的齿廓g[sub]1[/sub]（θ[sub]1[/sub]），从图中可看出，e1（θ[sub]1[/sub]）=||P（θ[sub]1[/sub]）-g（θ[sub]1[/sub]）ll，称e（θ[sub]1[/sub]）为偏差函数。我们将满足上述生成原理的一类齿廓统称为变圆弧包络齿廓，简称为变圆弧齿廓，由它构成的齿轮副称为变圆弧齿轮副。 当取偏差函数e（θ[sub]1[/sub]）=（rcosα） θ[sub]1[/sub]时，变圆弧齿廓就是常见的渐开线齿廓；而当偏差函数取e（θ[sub]1[/sub]）=
时，这时的变圆弧齿廓就是摆线齿廓；而对于普通圆弧齿轮来说，相当于偏差函数e（θ[sub]1[/sub]）只在某些离散点取值。
1．2 变圆弧齿廓的计算 从图2可以看出，用坐标分量表示的变圆弧齿轮齿廓P[sub]1[/sub]的方程为
式中， ψ定义为在g点齿廓的法线与x轴之间的夹角，它是θ[sub]1[/sub]的函数，由图2知[align=center]
[/align] 为了使获得的上述齿廓能够实际应用，还必须对偏差函数e（θ[sub]1[/sub]）的选择做某些限制（1）为保证齿廓曲线不相交，要求
（2）为确保方程式（3）有解，要求
（3）为保证轮廓曲线C′连续，在节圆p[sub]1[/sub]与齿廓g[sub]1[/sub]的交叉点C[sub]p[/sub]处，e（θ[sub]c[/sub][sub]p[/sub]）必须等于零。（4）为了保证齿廓光顺，在e（θ[sub]1[/sub]）最小、最大值之间必须单调变化。（5）为了使齿轮齿数N[sub]1[/sub]取整数并且保证有一定的重合系数μ，两个交汇点之间的角度范围Φ[sub]1[/sub]应满足
。
2 变圆弧齿轮齿廓的啮合原理 设一对变圆弧齿轮的齿廓相互啮合，如图3所示，在某一瞬时，这对共轭齿轮O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]的齿廓c[sub]1[/sub]和c[sub]2[/sub]在g点处啮合，根据齿廓啮合原理，共轭齿廓方程可写成
式中，g[sub]1x[/sub]，g[sub]1y[/sub]，g2x和g[sub]2y[/sub]分别是啮合点g在齿轮随体直角坐标系0l和02中的坐标分量，O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]是齿轮θ[sub]1[/sub]和θ[sub]2[/sub]的转角，而φ[sub]1[/sub]和φ[sub]2[/sub]是齿廓在g点的法线与两个x坐标轴的夹角。 两齿廓啮合过程中保持接触的条件是齿廓c[sub]1[/sub]上的g点速度V[sub]g1[/sub]和齿廓c[sub]2[/sub]上的g点速度V[sub]g2[/sub]在公法线方向的速度分量相等，即v[sub]gn1[/sub]=v[sub]gn2[/sub]；从齿廓的生成原理可知，两齿轮的齿廓在任意啮合点g处存在公法线n-n′它与连心线O[sub]1[/sub]O[sub]2[/sub]交于节点P，由O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]点分别向n-n′作垂线，交于n[sub]1[/sub]和n[sub]2[/sub]点，则
，如图3，则传动比为
因此，我们得出结论：变圆弧齿轮能够实现恒定转速比传动。 变圆弧齿轮副齿廓间的相对滑动速度为
一般情况下，变圆弧齿轮的压力角是与齿轮转角有关的变量，对渐开线齿廓，e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]1[/sub]cosα（θ），带入上述压力角计算公式可得e=a。
4 变圆弧齿轮齿廓的特点 从理论上讲，变圆弧齿轮包括外啮合齿轮副和内啮合齿轮副。由于外啮合的渐开线齿轮具有制造简单，对误差不敏感等优点，因此，下面讨论的变圆弧齿轮是以提高齿轮强度为目的，用于重载场合的凸凹型内啮合变圆弧齿轮。 如图4所示，以节圆为分界面可以将变圆弧齿廓分割成凸齿a，a′和b，b′凹齿两部分，其中a′，b′是a，b的镜像，a段和b段可以用不同的偏差函数分别进行设计，但必须在节圆上相交并保证在交点处至少一阶连续。
齿轮的失效形式主要是断齿和点蚀，反映他们的性能指标包括：齿根弯曲强度和表面接触强度；齿根弯曲应力的近似计算公式为
式中，ω为齿宽，h和b分别为力F[sub]t[/sub]作用点到齿根的距离和齿宽。 根据Hertz接触应力理论，假设两个齿轮采用相同的材料制造，内啮合齿廓在接触点g处的接触应力计算公式为
式中ρ[sub]g1[/sub]ρ[sub]g2[/sub]分别为两齿廓在接触点处的曲率半径，它们的计算公式分别为
从上述公式可知，齿面接触应力的大小与接触点处曲率半径的差成正比，齿根弯曲应力和齿面接触应力都与生成齿廓的偏差函数有关，因此，通过合理设计变圆弧齿轮的偏差函数，我们能够获得所需的齿根弯曲强度和表面接触强度。变圆弧齿轮在某一瞬时的啮合状态与双圆弧齿轮相似，但普通双圆弧齿轮为了实现连续传动必须做成斜齿轮的形式，而这里介绍的变圆弧齿轮是通过一系列不同半径圆弧的包络，在直齿情况下，实现了圆弧齿轮的连续传动。 变圆弧齿轮不存在根切现象，最小齿数可以做到两个齿。 能否实现高精度、低成本制造是限制非渐开线齿轮应用的主要原因之一，如果我们以节点为原点，选齿轮转角、偏差函数e（θ）和压力角a为3个进给轴，那末，在数控插补加工时，法向
刀具半径补偿变得非常简单，另外，式（3）具有闵科夫斯基勾股速端曲线的形式，容易实现高速、高精度数控加工，这是变圆弧齿轮非常重要的优点。 与其它内啮合齿轮相似，变圆弧齿轮也存在对误差敏感等问题。
5 变圆弧齿轮齿廓举例 变圆弧齿轮设计的主要内容是在某些几何约束条件下，设计出满足强度性能要求的齿轮齿廓。变圆弧齿轮的设计大体上分为4个步骤 1）确定齿轮副参数，如：齿轮材料特性、传动比、重合系数、模数、中心距和负载力矩等。 2）生成偏差函数。 3）构造齿廓。 4）评估齿轮副性能。满足要求，结束；否则，转2。 下面给出一个采用偏差函数方法设计的内啮合正变圆弧齿轮副。设齿轮副的中心距为l，节圆半径同为l/2，偏差函数选
图5描绘了上述齿轮齿廓的连续凸凹接触特性，它的重合系数为1.2。
由于篇幅的限制，有关变圆弧齿轮副设计的其它内容和方法将在以后的文章中作进一步的介绍。
6 结论 本文提出了一种新型的变圆弧齿轮，介绍了设计这种齿轮的新方法，为齿廓研究提供了新思路和更为广阔的研究空间。由以上的推导、论证以及计算可得出以下结论： 变圆弧齿轮副满足齿轮传动的基本条件，它主要采用凸凹型内啮合的传动形式，用于重载传动场合。 通过优化设计偏差函数，变圆弧齿轮能获得性能优良的齿轮齿廓，特别是能使齿根弯曲应力和表面接触应力明显减小。它还具有结构紧凑，最小齿数可做到两齿等优点。 齿廓设计方法物理意义明确，公式简洁，便于进行优化设计、计算机辅助设计和制造，特别是可以很容易地实现刀具半径补偿和进行高速、高精度数控加工。 由于此类齿廓在传动时必须点与点对应，因而对制造和装配误差比较敏感，齿廓必须采用高精度数控加工；该类齿轮的其他性质有待进一步研究。
参考文献1 吴序堂编著．齿轮啮合原理．北京：机械工业出版社，19842 太原工学院齿轮研究室编著．圆弧齿轮．北京：机械工业出版社，1992
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