1小波包分解频带能量特征提取原理
小波分析是一种窗口大小（即窗口面积）固定，但其形状可变的时频局部分析方法，即，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率；在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。在实际应用中，往往希望提高高频频带的频率分辨率。小波包分析克服了小波分析中高频部分频率分辨率差的缺点，可以对信号在全频带范围内进行正交分解，在刻划信号特征方面具有更强的自适应性。
小波包变换具有对非平稳信号进行局部化分析的功能，能够把任何信号（平稳地或非平稳地）映射到一个由小波伸缩而成的一组基函数上，信息量完整无缺，对各频带内的信号进行统计分析，形成反映信号特征的特征向量，分析各频带内的信号能量，即频带的能量分析。某一个或几个频带内信号能量的改变即代表了一种故障情况，因此，可提取包含待诊断部件故障信息的频带能量值作为故障诊断的特征参数，作为模式识别的输入向量。
小波包频带分析技术的理论依据是Parseval能量积分等式。因f （x）在时域上的能量f 2 = - f （ x）2 dx
f （x）的小波变换C j， k = W （2 j， 2 j k） = 2 j 2 R（2 - j x - k）f （x） dx
二者由Parseval恒等式联系- | f （x） | 2 dx= | C j ， k |
由式知，小波变换系数C j， k具有能量的量纲，因此可用于能量分析。
2小波包特征提取的主要步骤
a）小波包分解对信号进行小波包分解（以3尺度分解为例），其分解结构如。图中， （ i， j ）表示第i层的第j个结点，其中， i= 0， 1， 2， 3； j = 0，1，， 7，每个结点都代表一定的信号特征。其中，（0， 0）结点代表原始信号S， （1， 0）结点代表小波包分解的第1层低频系数X 10， （1， 1）代表小波包分解的第1层的高频系数X 11，依次类推。
1小波包3层分解树结构b）小波包分解后的频带重定位小波包分解后的结果并不是正确按照频率顺序排列（即频率由低到高排列） ，而是按佩利（ Paley）序号排列，要得到正确的结果，还需要对分解结果进行重新排序，将佩利序号通过格雷（ Gray）编码排序转换为沃尔什（ Walsh）序号，使频率按照由低到高的顺序排列，便于进行信号分析。其排序规则如下：
设f为佩利序号， f = j- 1 i= 0 2 j i， j为分解次数，i { 0， 1}.令，i = MOD（i + i+ 1， 2） ， f = j- 1 i= 0 2 j i则f为正确的序号（即沃尔什序号）。例如分解次数为3次时，从佩利序号转换为沃尔什序号的结果提取各频带信号对小波包分解系数重构，提取各频带范围的信号。这里只对第3层的所有结点进行分析，则总信号可以表示往复泵振动信号采样频率为16 kH z，则原始信号S中低频率成份为0，高频率成份为8 kHz，提取的S3 j（j = 0， 1，， 7） 8个频率成份所代表的频率范围如1.
通过格雷（ Gr ay）编码排序转换的结果，即已按频带从小到大的顺序重新进行了排列。
d）计算各频带信号的能量式中， x jk（ j = 0， 1，， 7； k= 1， 2，， n）表示重构信号S 3j的离散点的幅值。
e）构造特征向量当设备某部件或某系统出现故障时，会对各频带内信号的能量有较大的影响，因此，可以以能量为元素构造一个特征向量T.
当能量较大时， E3j（ j = 0， 1，， 7）通常是一个较大的数值，在数据分析上会带来不方便的地方。
因此，需对向量进行归一化处理，向量T即为归一化后的向量。
3应用实例
往复泵由于各零部件的结构和运行速度不同，致使振动信号所包含不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带范围内，特别是当某一零部件出现早期缺陷时，这种缺陷状态信息很微弱，往往被其他零部件的振动信号和随机噪声淹没。a和b分别为往复泵正常泵阀和弹簧断裂泵阀的时域图，3a和3b是其相应的频域图。从时域图和频域图中只能看出出现故障后振动幅值有所增加，很难对故障进行准确地判断。
对振动信号进行小波包分解。小波包分解尺度过少，不能有效提取故障特征；分解尺度过多，特征向量的维数偏大，会影响诊断速度。根据往复泵泵阀缸盖振动信号的特点，采用3尺度分解。4为正常和弹簧断裂的往复泵振动信号及小波包分解第3层各系数重构波形。图中，上面的子图为振动原始信号，第2个子图S130表示结点（ 3， 0）系数的重构波形，第3个子图S131表示结点（ 3， 1）系数的重构波形，依次类推。
对比a和b可知，在不同系数重构波形中存在着较大的差别，因此计算出各系数的能量作为特征，即可用于故障的诊断。计算出各频带能量并经归一化，得到泵阀正常和弹簧断裂2种状态下的特征向量为便于比较，画出2种状态下小波包频带能量直方图，如5.从图中可以看出，泵阀弹簧断裂时，低频带（ 0 1 kHz）能量所占比例显著降低，由44 08降为5 34；正常时高频带能量主要集中在第5 6频带，弹簧断裂时高频带能量则集中在第4 5频带，而且所占比例显著增加，由48 05上升到92 24.这与泵阀的结构和工作原理是一致的。弹簧失效后，刚度下降，所以振动频率降低；刚度下降造成泵阀关闭滞后角和滞后高度增大，进而阀盘落坐到阀座上的速度变大，冲击增大，所以振动能量增加。因此完全可以把频带能量特征作为故障诊断的依据。
对提取到的频带能量特征组成特征向量，采用
模式识别技术（如模糊聚类、神经网络等）进行分类决策，便可确定是否发生故障及故障位置。如果小波包分解层次加大，诊断效果会更好，但运算量也相应增加。
4结论
故障特征参数的提取是往复泵状态监测及故障诊断的关键环节。小波包变换具有对非平稳信号进行局部化分析的功能，将信号分解到不同的频带，对各频带内的信号进行统计分析，形成包含待诊断部件故障信息的频带能量值作为故障诊断的特征参数，可对设备进行有效的状态监测和故障诊断。将小波包变换应用到往复泵泵阀故障分析中，提取到了弹簧断裂时的频带能量特征指标，为往复泵故障诊断奠定了可靠的基础。
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