1控制方程
弱可压缩流动控制方程组由可压缩连续方程和动量方程导出。该模型能对非定常流动进行模拟且具有相当快的计算速度。
对于弱可压缩流动，其连续方程和动量方程为
pt+ K u = 0（1）
ut+ uu +p-2u = 0（2）
式中： K = a2.
在湍流运动中，各种流动的特征量均随时间和空间坐标而呈现随机的脉动，是三维的有涡流动而且伴随着涡的强烈脉动。通过三维涡量场中旋涡的拉伸和变形，形成湍流中各种不同尺度的旋涡。
而这些不同尺度的旋涡在湍流运动中起着不同的作用。大尺度旋涡从时均流动中取得能量，能量由大尺度旋涡向小尺度旋涡逐级传递，并后在小尺度旋涡中，通过流体的粘性将能量耗散。
大涡模拟克服了湍流模式理论的时均处理和普适性方面存在的缺陷。其基本思想是：首先，把包括脉动在内的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动两部分，大尺度量要通过数值求解运动微分方程直接计算出来，小尺度运动对大尺度运动的影响通过建立亚格子模型来模拟（叫作次网格尺度模拟， Subgrid Scale，简称为SGS） ，这样就大大减少了计算工作量和对内存的需求。
大涡模拟中对控制方程采取某种滤波处理，使得方程计算大涡时是的，而小涡的影响则以某种需要模拟的项出现。由于只需要模拟更小的涡，所以精度比雷诺平均方法要高。滤波的过程类似于对N S方程的时间平均，但滤波是对控制方程在空间上的处理，所以也可称为空间平均。空间平均与时间平均在本质上是不同的，即便是统计定常的流动，滤波后的流动参数也不是常数，它仍然包含大涡的脉动。关于滤波方法目前有很多，其中高斯型滤波函数在实际应用中比较简洁。
对于湍流流动，我们用湍流涡粘性系数t来考虑在旋涡扩散中无法求解的湍流流动的影响。计算t简单的模型是设定它为常数，该模型一般用于研究稳定流动。本文采用基于各向同性涡粘性假设的计算模型。
设计算域内小网格上的切应力为
ij= - 2tSij（3）
t=CS！22SijSij12（4）
Sij=12uixj+ujxi（5）
式中： CS为子涡扩散系数； 为子网格的尺度； S ij为网格平均应变率。
上述模型是由Smagorinsky于1963年首先提出的。该模型将湍流粘性系数t与网格尺度及流体微团的应变率S ij联系起来。
式中的常数系数CS目前还没有适用于各种情况的通用值。对于二维湍流流动， Smagorinsky建议取CS= 0. 4.根据式（ 4）可以分析，不同的C S值实际上反映了紊动场从时均场中提取能量的多少，显然较大的CS值说明紊动场所提取的能量多，因而流体沿程流动的扩散就快些，反之则慢些。总之，CS值的选取需要反复试验和比较。
！的计算公式为！= 2 Vi+ Vi+ 1 2 1 2（ 6）式中： V i和V i+ 1为相邻网格的体积。
大涡模拟法有其的优点，但将其应用于实际三维湍流流动却存在极大的困难。例如，通用的小涡模型需要十分密集的网格节点，进而对计算机的存储能力要求很高；求解非线性偏微分方程要处理大量数据，需要计算机具有高速数值处理的能力等。若将三维大涡模拟简化成实用的二维形式，就既利用了大涡模拟原有的优点，又可在通常的计算条件下（例如PC机）用于实际湍流运动的数值预测。文献< 3>的研究成果表明大涡模拟的二维形式是可行的。
将控制方程在弱可压缩流动计算域中过滤，表示相邻网格的面积； C是比例常数（Smagorinsky常数） .
2数值模拟计算
2. 1生成计算网格
网格质量对CFD计算精度和计算效率有重要影响。对于复杂边界的CFD问题，网格生成极为耗时，且极容易出错，生成网格所需时间常常大于计算时间。
我们利用FLUENT软件的网格划分技术很容易地解决了本文的计算问题。具体做法是：首先在FLUENT的GAM BIT环境中，生成射流泵的几何模型，然后利用GAMBIT的强大功能进行网格划分，单划分之前需要用户输入一些生成网格所需的相关参数。这里假定几何模型已装载到GAM BIT显示区，从对话框可以看到，在划分2D网格时，需要指定4组参数： facees， scheme， spacing和options.在scheme中我们选择map，它使用指定的网格单元创造规则有序的结构网格；在spac ing我们用Interval Count指定边界上分点时使用的间隔数。后射流泵流场的计算网格（局部）如图1所示。文中为了显示清楚，选用较为稀疏的网格（ 60 12 + 60 12） .显示了射流泵的求解区域。
2. 2初始及边界条件
当计算开始时，给定射流泵的工作水流、吸入水流和出口压力均为同一数值，这显然不是一个正常的运行工况。开始计算后，随着时间的增加，工作水流压力逐渐增大，吸入水流压力逐渐减小，甚至可能成为负值，而出口压力基本保持不变，这时的水流为非定常流动。经过一段时间后，工作水流压力不再增大，并维持在某一数值。射流泵内的水流流动会逐步趋于定常，终稳定在某一工况。这时计算将收敛并输出结果。
具体说明如下：
（1）当t= 0时，上、下游断面流动处于静止状态，令pS1= p01= p31uS= u0= u3= 0在初始时刻，射流泵的工作水流、吸入水流在进口处和出口处的压力分别相等；各处的流速全部为0.
（2）当t 1 > t> 0时， p 0 = p t p t = p 01 + p 0 C 1 + C 2 t - t 0 t 1 + C 3 t - t 0 2 t - 2 t - t 0 2 t p 0 x = 0，p S x = 0，u S x = 0开始计算后，射流泵工作压力随时间增加而逐渐增大，增幅符合上述的函数关系；射流泵工作水流和吸入水流在进口处沿x方向的压力梯度为0，工作水流沿x方向的速度梯度为0.式中t 1， t 0为时间常数。除上述表达式外，还可以有其他定义，这取决于所假定的射流泵运行工况。
（3）当t> t 1时，u S x = 0，p S x = 0 p S = p 3 - ！p 3式中： p S为吸入压力； p 0为工作压力； p 3为出口压力； u S为吸入流速； u 0为工作流速； u 3为出口流速；！p 3为射流泵出口压力差。
2. 3数值模拟结果及分析
理论上认为，射流泵属于有限空间射流流动，其流场可以分为：流核区，射流核心速度保持不变； ！基本流动区，射流边界层迅速扩展到壁面，能量、质量交换加剧；回流区，这是一个可能存在的区域，如果射流在扩展到固壁之前，卷吸了所有的被引射流，则固壁边界层会发生分离。在流动方向上产生回流，可以用无因次数Ct数来判定； 管流区。数值模拟的结果也如此。
显示了射流泵在正常运行工况下数值试验的可视化结果（流量比q= 0. 322；面积比m= 1. 59； L为无量纲化的轴方向长度； P s， P为无量纲化的吸入和工作流体压力； u s， u为无量纲化的吸入和工作流体速度）。
从3射流泵内压力变化曲线可以看出，在喉管入口段，由于工作水流本身能量还未较多地传递给吸入水流，再加上管道渐缩，故压力是下降的。在喉管中，虽然管径不变，但由于工作水流能量向吸入水流传递，管道内总动能下降而压力是递增的。
4射流泵内流速变化曲线表明，工作水流流速在喷嘴处达到大值后便逐渐降低，而吸入水流流速却逐渐增加，这进一步证明了能量传递的结果。 5则显示了射流泵内流流场的速度分布。
由于受固壁的约束，射流泵在某些工况下会出现流线脱壁而形成回流漩涡区，回流区的产生是动态且不稳定的，因此数值模拟比较困难。有关文献资料表明，在计算射流泵流场时一般采用抛物形流动假定，当流体发生回流或漩涡时就无法计算，还必须加入其他近似计算方法处理。而本文采用弱可压缩流体控制方程和大涡模拟湍流模型较好地解决了这一问题。 6是比较典型的射流泵产生回流和旋涡的矢量图。
从6（ a）中可见，在该工况下射流泵吸入通道的狭窄处出现了回流和漩涡。随着运行工况的变化，回流和旋涡不断增大，并向前后延伸，如6（ b）、（c）所示，此时射流泵运行极不稳定。
大涡模拟中的亚格子模型系数的取值，是一个比较有争议的问题。笔者对此也做了一些探讨。在前面的计算中，统一取亚格子模型系数C S= 0. 4.为比较CS取值不同对计算结果的影响，现分别考察了另外2种不同的情况，即其他条件和参数不变，分别取C S = 0. 1和C S = 0. 5进行数值试验。但从压力沿程变化曲线、流速沿程变化曲线和流动矢量图的比较来看，不存在明显差异。也许正因为如此， C S的取值一直没有定论。
一般来说，计算网格的疏密程度对计算结果会有影响。但在本文中，在一般精细网格（例如60 12+ 60 12）和非常致密网格（例如400 80+ 400 80）下，计算结果没有本质的不同（非常致密网格的图形在此很难显示清楚，故从略）。计算中很少出现发散情况。可以认为，本文采用的数学模型和数值方法有良好的稳定性和收敛性，节省计算时间，适用于工程计算。
3数值模拟结果的验证
由于本文数值模拟的是平面问题，而实际的实验数据多为轴对称情况，因此不能直接对比验证，但可采用间接验证的方法。在参考文献< 4>中，陆宏圻教授建立了液体射流泵基本方程，该基本方程概括了国内外其他学者提出的各基本方程所表述的客观规律，有大量实验数据支持。该方程的简化形式在工程中应用误差总体上不超过5 .因此用基本性能曲线来间接验证数值计算结果的正确性应当是可行的。
液体射流泵基本方程的函数关系为： h = f q， m， s，式中： h为压力比； q为流量比； m为面积比；s为容重比。在射流泵内流场数值计算中， q值通过初始条件确定（即在初始条件中给定p c） ，面积比m和容重比s对特定的射流泵和工作介质是固定值，因此可算出相应的h值。不同的q值对应不同的h值，构成了相应的射流泵工况。计算出若干个工况后，就能得到一条q- h曲线，即射流泵基本性能曲线。而在q值相同的情况下，应用陆宏圻教授的理论公式，也可计算出相应的h值，并同样能得到另一条q- h曲线。比较这2条曲线的吻合程度，即可间接验证数值计算结果的正确性。
将采用理论公式计算和数值预报计算的2条q- h曲线共同绘制于7，从图中可见，除极少部分外， 2条曲线基本上是重合或接近的。
4结论
湍流流动数值模拟是一项富有挑战性的工作，本文仅仅探讨了大涡模拟湍流模型在射流泵流场的应用。数值实验的结果表明，本文采用的弱可压缩流体控制方程和大涡模拟湍流模型特别适用于计算马赫数较小的流体（例如水流）的非定常流动，且易于求解，计算效率高，是很好的射流泵优化设计和流动分析的辅助工具。
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