1工作原理
凸轮泵属于回转式容积泵，主要由泵体、转子、泵盖、密封装置、同步齿轮传动装置和驱动装置组成。泵体内2个凸轮转子同步反向啮合转动。随着2个转子的转动，流体通过泵入口吸入转子腔，并在转子腔内获得一定能量后在泵的出口处以一定的速度排出，从而产生一定的压力和流量。凸轮泵能否产生压力，能否达到设计排量，转子之间的啮合是关键。
泵体内的2个转子是一对共轭的形状相同的转子。转子型线设计要求在2个转子的同步啮合转动过程中，任一瞬时，两转子理论廓线只有惟一接触点。转子理论型线除满足共轭条件外，凸叶形状应具有良好的几何对称性、互换性；泵腔容积利用系数尽可能大；转子凸叶有足够的刚度和强度。
处于理论型线下的转子是相互啮合的，实际工作中，为保证泵的正常运转，防止凸轮泵转子相互摩擦磨损，根据所泵送的流体介质不同，在两转子之间、转子与转子腔内壁间都设计有一定的间隙。
因此还应在理论型线基础上再求出实际型线。
常用的转子端面型线有渐开线、摆线。渐开线型的转子腔容积利用系数高，在鼓风机转子中用得较多，在凸轮泵中也有使用。摆线型转子型线为常用的型线。转子型线设计常用的设计方法有直角坐标法、极坐标法等，设计公式烦琐，容易出错。本文以摆线型转子为例，采用复极矢量函数法进行设计分析，设计分析的方法同样适用于渐开线等型线的转子。
2转子型线设计
摆线凸轮泵转子型线一般由叶峰和叶谷2部分组成。叶峰位于节圆之外，是一段圆弧，叶谷位于节圆以内，是与另一个转子的叶峰圆弧共轭的曲线即摆线。下面以三凸叶转子凸轮泵为例建立数学模型进行设计分析。
2. 1坐标系的建立
如1， O1、O2分别为转子1、2的回转中心，叶峰圆弧半径为r，叶峰圆弧分布圆半径为b.
xO 2 y为一固定坐标系，动坐标系x 1 O1 y 1固定在转子1上随转子1转动而转动，轴x 1的起始位置与轴x重合；动坐标系x 2 O 2 y 2固定在转子2上随之转动，轴x 2的起始位置与轴x的方向重合。当转子1的叶峰圆弧从初始位置（中细实线圆弧）随着动坐标系x 1 O 1 y 1一起转动，转过角度至图示方位时，转子2也转过角度（如1）。
2. 2理论型线
根据啮合的基本定律， 2个转子的传动比与其连心线被其啮合的两廓线在其接触点的公法线所分成的2段的长度成反比，即i 12=1/2= O 2 P/ O 1 P，由于2个转子同步反向啮合转动，故有i 12 = 1 / 2 = 1，即节点P为一固定点，且O 2 P= O 1 P= R（R为节圆半径）。又因为公法线必过节点P，故公法线上转子2与转子1的接触点为此刻的啮合点即为所求的转子2上与转子1叶峰圆弧共轭的点M .
根据型线设计要求，应使两转子具有良好的几何对称性、互换性。先确定叶峰叶谷界限的角度2 = / Z（式中： Z为转子凸叶数；对于三凸叶转子，= / 6） ，并定义线段PN与水平方向的夹角为。如1，根据几何关系，由O 1 N P可得PN = R 2 + b 2 - 2Rbcos（ 1）= arccos bsin PN（ 2）在固定坐标系x O 2 y中，将啮合点M与O 2、P组成的三角形看成一个封闭矢量多边形，得到复极矢量方程：a O 2 M = a O 2 P + a PM（ 3）式中： a O 2 P = Re j0 = R，是常量； a PM = PM e jO 1 PM =（r- PN ）e j（
2 + ）。
故可得固定坐标系xO 2 y中a O 1 M的复极矢量函数表达式：a O 2 M = R + （r - PN ） e j（
2 + ）（ 4）根据啮合情况，式（ 4）表达的就是啮合点即动点M在固定坐标系xO 2 y中的轨迹，是一条连续曲线。将a O 2 M从固定坐标系xO 2 y变换到动坐标系x 2 O 2 y 2中得转子2的叶谷曲线R谷< 6>：R谷= < R + （ r - PN ）e j（
2 + ）> e j（ 5）此即凸轮转子2第1个叶谷曲线的复极矢量函数表达，是一个参量方程，参量是。
转子2的叶峰为已知圆弧，在转子动坐标系x 2 O 2 y 2中亦可用矢量函数来表达：R峰= < r sin（ - + arcsin bsin（ - ）r sin（ - ）> e j（ + ）（ 6）式（ 5）、（6）表达了转子2第1个凸叶的完整廓线。
另外2个凸叶的形状与第1个相同，但须分别变换120、240，即乘以e j（2 3）、e j（4 3）。
因此可用6个分段函数来表达转子2的完整理论型线Rl2。转子1的理论型线R l1与转子2完全相同，只是在安装时须与转子1错开120的周向相位。
2. 3实际型线
处于理论型线下的转子是相互啮合的，实际工作中，两转子之间、转子与转子腔内壁间须有一定的间隙。间隙确定之后，即可在理论型线的基础上，求出理论型线上各点的法线方向，然后沿此法线方向向理论型线内部偏移/2，得实际型线。
由前述Rl可求出理论型线的导函数R
l = dR l dt = dR l d dt = dR l d， R l仍然是一个关于参量的复极矢量函数，此复极矢量函数R
l的相角即为R l曲线的切线方向角，曲线的法线方向角则为复极矢量函数R
l的相角顺时针旋转90，即R
l + / 2.
如1，在动坐标系x2O 2y2中，将转子2上的点M沿上述法线方向向理论型线内侧移动/ 2，得点M1（中未示出），将点O 2、M、M 1组成的三角形看成一个封闭矢量多边形， a O 2 M 1即为转子实际型线复极矢量函数R s：R s = a O 2 M 1 = R l + a MM 1（7）式中： R l为前述理论型线的复极矢量函数； a MM 1的矢径为/ 2，极角为R l在M点的法矢方向角即R
l + / 2.
故所求转子的实际型线的复极矢量函数R s可由式（7）得出。
3排量计算及性能分析
3. 1理论排量及容积利用系数
只要选定了凸轮泵的基本设计参数（节圆半径R、叶峰圆弧分布圆半径b、凸叶数Z和转子轴向宽度B），就可计算出理论排量的值。
对于直叶转子的凸轮泵，其理论排量为Q = 120ABn（8）对于扭叶转子的凸轮泵，其理论排量为Q = 120ABn/ cos（9）式中： Q为泵的理论排量， m 3 / h； B为转子轴向宽度， m ； n为转子转速， r/ min；为转子扭叶螺旋升角； A为一个转子凸叶间回转1圈扫过的面积，m 2。
A = （ r + b）2 - S（10）式中： （r+ b）2为转子旋转1周转子凸叶顶圆扫过的面积； S为转子横截面积，可在前述理论型线的复极矢量函数的基础上采用数值积分的方法利用软件编程求得。
转子2每个微扇形元的面积：dS = 1 2 | R l | 2 d R l（11）转子2横截面积：S =
dS（12）转子横截面积S的计算精度取决于计算dS时所取d的步长。例如d的步长取0. 4，横截面积S就可到0. 5 mm 2，偏差不到理论积分值的万分之一，完全能满足工程设计分析的精度要求。且数值积分运算量小，计算精度高。
当仅考虑单个转子时，凸轮泵的容积利用系数等于转子的面积利用系数：= （ A - S）/ A（13）
3. 2 2个转子啮合的压力角
传动机构压力角等于从动件所受力的方向与其运动速度方向之间的夹角。假设转子1为从动件，啮合点处型线的法线方向即为受力方向， M点处垂直于O1M的方向为速度方向。这里仅分析2个特殊点的压力角。
如， = 0时，转子1叶峰圆弧顶点与转子2共轭曲线（摆线）的谷底啮合，根据压力角的定义，显然此时刻的压力角1= 90.
当=时，根据几何关系，由式（2）得2 = arccos bsin PN = arccos bsin30 R 2 + b 2 - 2Rbcos30。
其余各啮合点的压力角介于1和2之间，转子凸叶圆弧顶部附近压力角接近90.显然靠这样的啮合传递扭矩是不可能的，故凸轮泵都设计成由同步齿轮传动分别驱动2个转子啮合转动（如图1）， 2个转子的啮合转动只实现流体的泵送。
4计算机辅助设计实例及分析笔者结合凸轮泵转子啮合规律，应用Matlab软件开发出凸轮泵转子型线的设计分析平台，用于转子型线的分析求解十分方便。
转子实际型线如，转子凸叶间回转1圈扫过的面积S = 6. 873 1 10 4 mm 2，面积利用系数= 0. 475 3，压力角1 = 90、2 = 23. 084.设计条件是：节圆半径R= 150 mm，叶峰圆弧分布圆半径b = 139 mm，转子间的间隙= 0. 3 mm，凸叶数Z= 3.
设计中发现：b/ R的比值k对转子理论型线是否存在和泵有效容积都有直接影响。当k取值不合适时会导致型线自交或过渡部分不光滑。对转子凸叶数Z= 3的凸叶泵，当k< 0. 968时转子型线的摆线无自交发生且叶峰圆弧与摆线相接处过渡光滑；当0. 968 < k< 1. 20时，转子型线（叶谷摆线的首尾部分）出现自交；当1. 2< k< 1. 3时，型线光滑，无自交；当k> 1. 3时，型线无自交但叶峰圆弧与摆线相接处过渡不光滑。
凸轮泵的容积利用系数随k值增加而增大，随Z的增大而减小。
5结论
（ 1）凸轮泵转子理论型线和实际型线用复极矢量函数进行分析、求解和表达都十分方便。
（ 2）转子理论排量和有效容积系数用数值积分方法分析和计算简便直观，可避免烦琐的积分公式推导。
（ 3）凸轮泵容积利用系数高，转子非接触式啮合转动，转子曲线平滑，空间大，无死角，具有广阔的应用前景。
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