Kidorf等提出了一种包含有正反向抽运、信号和放大的自发辐射噪声功率分布比较完备的传输方程< 2>.式中： P v表示在带宽v内，中心频率位于v处单向和反向传输的光功率， +、-分别代表正向和反向传输；v为光纤在频率v处的衰减系数；v为光纤在频率v处的反向瑞利散射系数； h， K， T分别为普朗克常量、玻尔兹曼常量和温度； g v为频率处的抽运光对频率v处光波的拉曼增益系数； A eff为光纤的有效横截面积。
公式中每一项的意义：第1， 2项分别表示光纤的衰减和反向瑞利散射；第3， 4项表示对频率的放大作用；而第5， 6项是对其的衰减作用项。具体的来讲第3项是高频短波长信道对信道v的放大，第4项是放大的自发辐射噪声并考虑了温度的影响，第5项表示低频长波长信道对信道v造成的衰减，第6项表示噪声发射造成的衰减。
数值模拟方法及步骤 数值模拟方法目前耦合方程（1）的常规解法是用4阶龙格库塔（Runge Kutta）法。如果是正向抽运，则在信号输入端，信号光和抽运光的初值已知，仅用R K算法就可以解方程。但如果是反向抽运，则构成了边值问题，可以采用打靶法转化为初值问题。但上述方法在信道很多且抽运波长也较多的情况下，数值求解需要耗费大量的时间。本文尝试将平均功率分析法与松弛迭代法结合起来，利用广义衰减系数，来减少计算时间。这里只考虑的是后向抽运情况，边界条件为：
P + pump = 0； P + signal（0） = P in；P-pump（L ） = P pump.
具体迭代步骤如下：
1）反向计算抽运功率。在计算抽运功率分布时，从抽运输入端出发以抽运的初始输入值作为初始迭代值，在只考虑衰减的情况下，以z为步长一步一步反方向迭代计算出各个节点的抽运功率值。
2）正向计算信号功率值。迭代过程中计算某个点的功率值就以其上一点功率值作为初始值P v（z0），步长z的选取一般不能取得太大，否则精度不高，但也不能取得太小，那样会耗费很多时间，影响速度，在这里取了0. 5 km.假设每个信道的衰减是一个常数，采用广义衰减系数
v（z i） = F< z i， v， P v（z i） > P v（ z i）。
这样在求解下一个节点的功率值时，就可以从其初始值出发乘以exp（- v（ z i） z）就可以了。即P v（z i+ 1） = P v（z i）exp（- v（z i） z），并且计算出信号光每一段的平均功率矩阵P s.
3）固定信号光，反向计算抽运光分布。此时光纤中已经有了信号光分布，所以要考虑信号对抽运造成的衰减。计算出各抽运波每一段的平均功率矩阵P p；将P p与P s合并组成初始平均功率矩阵P 0.
4）再次正向计算信号光的分布，然后再反向计算抽运光的分布，得到新的平均功率矩阵P，反复迭代直到前后两次平均功率矩阵的误差为10 - 6为止，max | P i+ 1 - P i| 10 - 6.
采用的参数
为了准确计算拉曼光纤放大器的增益，拉曼增益系数和有效面积都应与波长相对应。不同抽运波长的拉曼增益系数曲线形状相似，但增益峰值不同，满足波长反比定律。具体计算如下：g jk = g rk A r / （A j），A j = A r + S r（j - r）。
式中： g rk为参考抽运频率/波长（v r / r）处的拉曼增益谱； A r， S r为参考抽运频率处光纤的有效面积和面积斜率；本文以1 450 nm作为参考波长，用来将标准的拉曼增益谱转换成该抽运波长处的增益谱。
1 450 nm处的参数如下，其中G pp为1 450 nm处的拉曼增益谱的峰值增益系数。
s = 0 6 dB/ km；p = 0 7 dB/ km；A r = 15 m 2； S r = 0 07 m 2 / nm；G pp = 3 45 km/ W.
标准的拉曼增益谱如1所示。1标准的拉曼增益谱 仿真结果及增益特性分析
1） 2为单泵浦时的拉曼光纤增益谱。其中实线的泵浦波长为1 465 nm，虚线为1 485 nm，泵浦功率为800 mW，反向泵浦。由图可看出1 485 nm比1 465 nm的增益谱向右平移了20 nm，所以FRA增益谱随着泵浦波长而变化，比EDFA有着较灵活的增益范围，但FRA必须要输入大的泵浦功率才能够达到较大的增益，泵浦功率一般都在几百毫瓦级，这就是拉曼光纤放大器发展比较缓慢的原因。
2单泵浦时的FRA增益谱3 FRA增益随拉曼光纤长度的变化2 ）增益线性特性。在DCF长度为1 7 km ，1 465 nm后向泵浦的情况下FRA的增益随泵浦功率的增加呈线性增加趋势。与EDFA相比， FRA的泵浦功率越大，增益也越大。
3）佳长度特性。是在1 465 nm泵浦功率为800 mW时信号的大增益随着光纤长度的变化曲线，由图可见当拉曼光纤长度小于17 km时，增益随DCF的长度迅速增加，在17 km处增益达到大值17. 58 dB ， 17 km以后增益开始下降，这是
因为多余长度的DCF使得信号的衰减增大。而太短却不能使得泵浦功率充分被信号光吸收，所以实际应用中取佳长度较好。
4）泵浦FRA的泵浦功率沿着光纤的演化。4泵浦功率沿着DC F的演化图4是FRA 6泵浦时泵浦功率沿着DCF的功率演化图，其中标号1 6表示泵浦波长从小到大。可以发现较短的泵浦波长1， 2， 3的功率沿着DCF的衰减较快，尤其是波长短的1衰减非常快；而较长的波长3， 4， 5的泵浦功率衰减较慢，特别是波长长的6在传输的开始泵浦功率还有增大，这证明了短波长泵浦光向长波长泵浦光的能量转移，即光纤的非线性效应拉曼散射效应。
5） 5为6泵浦时的信号光功率沿着DCF光纤的演化图。由图中可看出，信号光功率沿着DCF先衰减后放大。出现这种现象的原因主要是因为我们所采用的是后向泵浦，而DCF对光信号的损耗较大，一般为0. 6 dB/ km，所以在光纤传输的开端泵浦功率分布较小，信号的衰减大于放大，在DCF的末端较大的泵浦光功率分布使得信号光得以放大，这样信号光在传输过程中就得到了放大。
5信号光沿着DCF的演化
总结
笔者采用平均功率的思想，并结合松弛迭代法，考虑了自发辐射噪声等因素的影响，对拉曼光纤放大器进行了全局的数值模拟。由于采用了平均功率的思想，大大减少了算法的计算量，收敛快。一般经过4次迭代就能达到10 - 11的精度，而文献< 1>是用R K法进行松弛迭代时7次达到10- 4的精度。算法简单易控制，可有效的对拉曼光纤放大器的传输性能进行模拟，对拉曼光纤放大器的实验研究有一定的帮助。
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