晶体周边采用紫铜的水冷套冷却，由于紫铜热传导系数远远大于晶体热传导系数，因此热量沿晶体径向向外传导。可假设热流线为径向（r方向），即u（r，z）z=0晶体的侧面（r=R处）温度恒定为uW，作为热模型数学处理可设其为0（相对），得出温度场后，再叠加激光晶体的环境温度，即u（R，z）=0（8）晶体两端面与空气相接触，从端面和空气热交换流出的热量远远小于从晶体侧面通过传导流出的热量<10>，因此可假设晶体的两端面绝热，即uz（z，0）=uz（z=L）=0（9）12晶体内部温度场的半解析计算公式由于激光晶体内部有热源，因此激光晶体内部的热传导遵守Poisson方程2ur2+1rur+1r2u2+2uz2+qv=0式中：为晶体导热系数或称为热导率。由于泵浦光源、晶体内热源均具有轴对称性，因此激光晶体内的温度场与无关，即u（r，，z）=u（r，z）.方程式中：为激光晶体内的热源半径。
激光晶体轴向热膨胀半解析研究激光晶体泵浦端面的温升将引起端面发生热形变，晶体的热形变会给腔内振荡光束带来损耗<12>，同时也改变了谐振腔的属性。利用半解析方法可得出晶体轴向热形变量公式。
双端泵浦激光晶体的温度场分析由于晶体内掺杂Nd3+的质量分数不同，Nd：YVO4晶体对于泵浦光的吸收系数也就不同，因此晶体内温度场有着明显的差异。在发展大功率激光器的应用中，对于Nd：YVO4晶体的选择向低掺杂（掺杂质量分数为0310）、大尺寸（长度L>5mm）方向发展，文献<13>确定了晶体掺杂质量分数对泵浦光吸收系数影响的经验公式p=Cb（13）式中：p为晶体对抽运光的吸收系数；为掺杂的质量分数；b、C为实验常数，由实验结果拟合得出b=15，C=25.忽略温度场对晶体其他物理属性的影响，Nd：YVO4晶体的热传导系数为00523W/（cmK），沿轴向的热膨胀系数c=113710-6K-1。
根据晶体内部温度场的计算公式（11），如果将泵浦光聚焦为450m的光斑，入射的泵浦光功率为20W时，Nd3+掺杂的质量分数为05，晶体半径R为15mm，通光长度L为8mm，在Nd：YVO4晶体内部三维温度场的分布如所示，同时得到晶体内部的等温线分布图，如所示。
双端泵浦晶体三维温度场图双端泵浦晶体内部等温线图从、3可以看出，当双端泵浦功率相同时，晶体的两个端面将同时具有4203的温升，而在晶体内部的温升较小一些。正是泵浦端面局部较高的温升引起的热形变，给腔内谐振光束带来了热致损耗。温度场在晶体中截面z=4mm处有着较高的对称性，这对于保持晶体热透镜在谐振腔内位置的稳定性具有重要的作用。同时，可以获得在不同泵浦功率下，晶体泵浦端面具有的大温升，如所示。
在不同泵浦功率下晶体端面大温升图对于Nd3+掺杂的质量分数为03、05、07和08的晶体进行了对比研究。给出了在端面泵浦功率为20W、入射光斑为450m时，不同掺杂质量分数的Nd：YVO4晶体中截面z=4mm处的温升对比图。Nd3+掺杂质量分数为05的Nd：YVO4晶体中截面的温升为2032，明显处的温度场对比图要高于其他掺杂质量分数的Nd：YVO4晶体。依据吸收定律，Nd3+掺杂质量分数越高，晶体端面处的温升就越高，而在晶体内部的温升较小。
大功率激光二极管端面泵浦下晶体端面处具有大的温升，泵浦端面发生热形变是晶体热透镜效应产生的主要因素。为根据晶体轴向热形变公式（12）在端面泵浦功率为20W、入射光斑为450m时，不同掺杂质量分数的Nd：YVO4晶体端面热形变量对比图。
双端泵浦不同掺杂质量分数晶体的端面热形变对比图由图可以看出，Nd3+掺杂质量分数越高，泵浦端面处的吸收越强，端面处发生的热形变越大。在相同的泵浦条件下，掺杂质量分数为05的Nd：YVO4晶体端面热形变量为104m，掺杂质量分数为08的Nd：YVO4晶体端面热形变量为122m.
采用端面泵浦，激光器易获得高质量的TEM00输出，但是在不同的泵浦功率条件下，模匹配条件也会发生变化。给出了端面泵浦功率为20W时，不同泵浦光斑在Nd：YVO4晶体中z=4mm截面处产生的温升对比图。
总结与分析本文利用半解析方法得到了双端泵浦激光晶体温度场和端面热形变场的通解表达式。研究表明，激光晶体内温度场的分布不仅与泵浦功率、泵浦光斑大小有关，还与晶体内激活离子掺杂质量分数有密切关系。选择激光晶体时应平衡掺杂离子质量分数、尺寸与内部温度场的关系，这样既能够提高泵浦光的利用率，又使晶体不具有明显的热效应。双端泵浦晶体温度场及热形变场的研究对于解决晶体热效应问题、提高激光器的稳定性具有指导意义。
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