摘要：目的：本文采用阻抗控制的方法，将模糊PD自整定控制器运用到阻抗控制当中，并通过模糊调节器来有效的调节阻抗模型系数，实现在不确定环境下工业机器人的力/位置控制.方法：运用基于位置的阻抗控制方法，在位置控制内环，采用模糊自整定PD控制器，使系统动态过程各个阶段的PD参数都处于最佳状态.在阻抗外环，运用模糊调节器来调节阻抗模型系数.结果运用了模糊调节器的阻抗外环，能够为系统反馈良好的轨迹修正量，并且采用了模糊自整定PD控制器的位置内环为工业机器人提供了准确的控制力矩，从而使得机器人力/位阻抗控制系统表现出良好的力/位跟踪效果.结论：以双关节SCARA机器人为模型，通过Matlab计算机仿真，对单纯的PD控制与模糊PD控制效果进行比较，可以看出运用模糊控制器的阻抗控制系统，具有良好的鲁棒性和力/位跟踪效果.
1引言
工业机器人自问世以来，一直替代人来完成高强度或危险场合的工作.随着工业机器人应用的不断增多，技术不断的发展，工业机器人可以完成的任务可以分为两类:一类是非接触性作业，即机器人在自由空间中搬运、操作目标物等任务，对于这一类作业，仅仅运用位置控制便可以胜任；另一类是接触性作业，如抛光、打磨等，对于这一类任务，单纯的位置控制已经不能胜任了，因为在这类任务中对接触力的大小是有要求的，并且机器人末端微小的位置偏差就可能导致巨大的接触力，会对机器人和目标物造成损害，所以必须添加接触力的控制功能来提高机器人的有效作业精度.
Hongan在文献中提出机器人的阻抗控制方法，机器人阻抗控制就是间接的控制机器人和环境间的作用力，其设计思想是建立机器人末端作用力与其位置之间的动态关系，通过控制机器人位移而达到控制末端作用力的目的，保证了机器人在受约束的方向保持期望的接触力。自阻抗控制概念被提出以来，涌现出很多不同的具体应用方法。文献综述了阻抗控制的两种基本方法：基于力的阻抗控制和基于位置的阻抗控制.
由于工业机器人都匹配有高性能的位置控制器，所以基于位置的阻抗控制策略得到了广泛的应用。本文选用应用广泛的基于位置的阻抗控制作为控制策略.在位置控制内环，采用模糊自整定PD控制器，使系统动态过程各个阶段的PD参数都处于最佳状态；在阻抗外环，运用模糊调节器来调节阻抗模型系数，为系统提供良好的轨迹修正量，从而使得机器人力/位阻抗控制系统表现出良好的力/位跟踪效果.
2机器人动力学模型
机器人在关节空间的动力学模型：
（1）
式中：τ为关节驱动力或转矩向量；q为机器人各个关节角度向量；M（q）为机器人的惯性矩阵；
为离心力和哥氏力向量；
为机器人重力向量.
如（1）所示的机器人动力学模型具有如下特性：
特性1惯性矩阵M（q）是对称正定的，对所有的
一致有界，即
，d为正常数. （2）
特性2哥氏力矩阵
满足：
，
为正常数. （3）
特性3斜对称性：对适当选定的哥氏力矩阵
有：
（4）
对机器人动力学模型的研究将有助于对机器人系统分析及控制器的设计.
3基于位置的阻抗控制
图1为基于位置的工业机器人阻抗控制系统结构图.
如图1所示，位置内环控制和阻抗外环控制的结合组成基于位置的阻抗控制.阻抗外环的作用是求取位置的修正量，此位置的修正量是基于机器人与操作环境之间的作用力和设定的目标阻抗参数求出来的，位置内环是在将外环求取的位置修正量、参考位置以及实际的位置综合起来后达到操作器能够精确的跟踪所期望的位置，最终实现机器人所要达到的目标动力学特征性。位置控制的精确度决定了整个系统的控制效果的优劣.在基于位置的阻抗控制中，力/力矩传感器对接触力进行采集测量，然后将其把检测到的力送给阻抗模型，接着阻抗模型会产生一个位置修正正向量
，此向量满足下式：
（5）
所以阻抗函数在频域中可以表示为：
（6）
理想阻抗模型参数M、B、K取对角矩阵，因此，式（6）可以看成对接触力
中每一个元素的二阶低通滤波器，将E添加到机器人参考位移
中，得到机器人位移控制指令
，
.当机器人末端未与环境接触时，受到外界作用力为零，对应的修正量为零，由式得
；当机器人末端与环境接触时，假定位置控制没有误差，即，则有
，综上所述，采用图1所示的控制结构，可以建立式（6）表示作用力与位移偏差的理想阻抗关系.
4基于模糊PD控制器的阻抗控制系统的设计
针对在不确定环境下的机器人力/位控制问题，常规的阻抗控制已经不能适应，本文提出的基于模糊PD控制的模糊阻抗控制方法，其系统结构图如图2所示.在阻抗外环，阻抗模型参数、通过模糊调节器进行动态的调节，模糊调节器的输入为位置误差和误差变化量，而输出则是阻抗模型调节系数、.控制机器人关节的位置内环PD控制器的系数、是关节位置、速度误差、通过模糊推理系统进行调节的.和分别表示期望的末端位置和期望的末端作用力.、表示了运动学正解和逆解.
4.1PD控制律的设计
设计的独立PD控制律为:
（7）
其中：
为阻抗外环为位置内环提供的位置跟踪误差；
Kp,Kd分别为比例系数与微分系数；
τ给定目标力矩.
选取Lyapunov函数：
（8）
由
及
的正定性可知是全局正定的，所以
（9）
利用特性3可知的斜对称性，
，
所以
（10）
由上式可知V是半负定的，并且Kd为正定，则当V=0时，e=0，从而有e=0.由LaSalle定理[10]可知，
是受控机器人全局渐进稳定的平衡点，即从任意初始条件
开始，均有，
.
4.2模糊PD控制器的设计
模糊PD控制器使各阶段PD参数处于最佳状态，来获得满意的控制效果.
根据对已有的控制系统设计经验总结，可以得出PD参数
和的自整定规律如下：
1、当
较大时，的取值应该比较小，从而加快系统的响应速度；
2、当
中等时，
的取值应该比较小，为了减少系统响应产生的超调，且适当取值；
3、当
较小时，
的取值应该比较大，来使系统响应达到比较好的稳定性能，适当的选取
的值，防止在达到平衡点后还会在其附近出现抖动.
本文根据机器人各状态特性以及上面总结的经验可以制定的、模糊规则表见表1和表2.
4.3模糊阻抗调节器的设计
一旦目标阻抗系数给定，当所处的环境的位置和环境刚度发生变化时，以及被控对象是一个时变的系统并且受到外界的干扰等因素，机器人不能很精确的完成给定的任务[8].通过大量的实验发现，固定目标阻抗系数并不能达到很好的控制效果，会产生大量的超调.所以考虑如果随着环境的变化，其阻抗系数跟着环境变化而进行调整达到自适应的效果.采用模糊推理模糊判断等步骤最终达到控制被控对象的效果，这种算法鲁棒性和实时性很强.
此次设计的调节器中以位置误差和误差变化量为模糊调节器的输入.由于目标阻抗系数是影响量的主要因素，而的大小则影响系统的超调量，并能起抑制的作用，因此和的变化量作为系统输出，组成双输入模糊推理系统.
模糊调节器有两个输入量和两个输出量，其中输入输出变量的语言值均被分为七个模糊子集
，输入误差论域，输出变量论域和输出变量论域规则化后为
，并且，.其调节器的调节规律如表3和表4所示，当位置误差
较大时，增大系数B、K
5仿真
本文仿真采用的机器人模型为双关节的SCARA(SelectiveComplianceAssemblyRobotArm)机器人系统，其动力学模型的系数为：
，
其中
雅可比矩阵为：
其中
设定机器臂末端进行半径为1的圆周运动（X、Y轴的时间-位移波形分别为正弦波和余弦波），且期望的末端力为在1.5s跳跃到4N的阶跃波形.而设置的两个模糊推理系统的四个隶属度函数两侧为梯形中间为三角形.
基于图2所示的阻抗控制框图，通过Matlab/Simulink进行仿真模型建立.仿真结构图如图3所示.
图3Matlab/Simulink模糊阻抗控制系统仿真结构图
为了进行控制效果的对比，本文针对单纯PD阻抗控制和模糊PD阻抗控制的力/位跟踪效果进行比较，其X、Y轴的时间-位移轨迹以及力跟踪的轨迹如图4-6所示.
图4X轴方向运动轨迹
Fig.4ThetrajectoriesinXaxis
图5Y轴方向运动轨迹
Fig.4ThetrajectoriesinYaxis
在仿真结果图4-6中，三条曲线分别表示期望的机器臂末端力/位置轨迹、采用模糊阻抗控制的末端力/位置轨迹和单纯采用PD控制器的阻抗控制末端力/位置轨迹.通过其中两条实际末端轨迹对期望轨迹的跟踪效果可以看出，采用单纯的PD阻抗控制的跟踪轨迹在期望轨迹之间上下波动且偏离值较大，而采用模糊阻抗控制的跟踪曲线较为平滑且偏离值逐渐减小.在收敛时间上，单纯的PD阻抗控制末端力/位置轨迹在6～7s之间收敛到期望轨迹并稳定，而采用模糊阻抗控制仅用时3～4s.
图6机械臂末端力轨迹
如图7、8所示，分别表示在单纯的PD阻抗控制和模糊PD阻抗控制下的机械臂末端位置轨迹X-Y图.
图7PD阻抗控制下的机器臂末端轨迹
图8模糊PD阻抗控制下的机器臂末端轨迹
通过以上对比试验可以看出，采用了模糊自整定PD控制器和模糊阻抗系数调节器的机器人控制系统力/位跟踪效果更好，其表现为机器臂末端力/位置轨迹很快收敛到期望轨迹上，且超调量小，调节时间短，抖动频率低，轨迹更加的平滑.从而使得机器臂的末端力/位控制误差更低，控制精度更高.
6结论
本文针对工业机器人力/位置阻抗控制问题，将模糊自整定PD控制器和模糊阻抗系数调节器运用到阻抗控制当中，实现了工业机器人末端执行器力/位置跟踪控制.通过控制系统的设计及仿真结果可以看出，在力/位阻抗控制系统中所设计的模糊自整定PD控制器和模糊阻抗系数调节器，不但设计过程简单、跟踪精度高、响应快、跟踪效果良好，而且，控制系统可以在外部环境不确定的情况下通过模糊逻辑调节PD控制器系数和阻抗模型系数，使得控制系统的适应能力和鲁棒性进一步加强.
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