推杆减速器的效率计算与强度校核

推杆减速器的效率计算与强度校核

推杆减速器的啮合效率是衡量其性能的一个重要指标，而强度校核是确定其承载能力的主要依据。对它们的理论分析能否正确反应推杆减速器的实际情况，直接影响到推杆减速器优化设计的效果。
推杆减速器由于采用推杆这一特殊构件作为活齿，因而使得它在效率与强度计算方法上与其它活齿传动机构有所不同。其特点是传动圈导槽对推杆等效全反力的作用点及方向随推杆工作位置的不同而发生的变化很大。因而与其它活齿传动机构（例如滚柱活齿减速器）的效率计算方法是不同的。在已发表的有关推杆减速器效率计算的文献中，都近似地把在外滚子与内齿圈之间作用力固定不变的情况下，无摩擦损失时与有摩擦损失时所需的驱动力或驱动力矩的比值作为啮合效率。有的虽然考虑了驱动力矩，但同时又把有摩擦时的驱动力近似处理为通过内滚子中心。实际计算表明，这些近似处理方法所带来的误差是很大的。而且这些文献只讨论了单个推杆的啮合效率。
本章详细分析了推杆在不同情况下的受力状态，考虑了惯性力的影响，严格按啮合效率定义推导出了较为精确的总体啮合效率计算公式，并利用计算机能够进行大量复杂运算的特点，取机构在若干不同啮合点位置时效率的平均值作为总的啮合效率，计算结果与实验数据基本相吻合。
3.1推杆在导槽内的运动分析

在推杆减速器中，动力的传递是靠运动着的推杆来完成的，推杆在工作行程中相对导槽的运动是变速的外推滑动，其速度u_r可用内滚子中心0₁点的速度表示，如图2.7所示。在前面已求得当传动圈固定时,内滚子中心O_l点的位移为：

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推杆在工作行程开始时，ι₁值为最小，这时ι_min=T_b+T_e-e，a₁=0，，加速度方向同运动方向一致，即从内向外作加速运动。

推杆在工作行程结束位置，ι₁达到最大值ι_min=T_b+T_z+e，此时a₁=0，=π，=0，加速度方向与运动方向相反，即作减速运动。

为求出，命a_r=0，可得：

联立（3.4）式及（3.1）式，可求得a_r=0时对应的值，由此可得到该位置各运动参数的值，此时速度有最大值u_rmax。

[算例]

对于3TWY7.5-12推植减速器，T_b=55mm，T_z=10mm，ε=5mm，ι=36mm，ω_J=1500RPM，i_JN=-11，计算出的ι₁，，a_r与的关系曲线如图3.1所示。

3.2推杆受力分析

在第二章已把推杆减速器根据传动圈是否与激波器转向相同分为正反两种结构。这两种结构的受力状态是不同的。下面先讨论正向结构。
设激波器按顺时针方向转动，如图3.2所示，则激波器迫使与其接触的内滚子自身以逆时针方向转动，在激波器与内滚子接触点M₁处，激波器转动的弧长大于内滚子转动的弧长，所以激波器对内滚子的摩擦力方向是沿切线方向向右，与激波器沿接触点法线方向对内滚子的作用力一起组成全反作用力F_J。在外滚子与内齿圈接触点风处，外滚子沿齿廓向齿根方向运动，内齿圈齿廓对外滚子的摩擦力方向为沿齿廓指向齿顶的切线方向，与内齿圈沿接触点M₂法线方向对外滚子的作用力一起组成全反力F_N。

在传动圈导槽与推杆的接触处，受到传动圈导槽对推杆的向下摩擦力，与沿法线方向的约束反力一起组成全反力F_C。

图3.2中的θ₁、θ₂ 、θ₃分别为激波器与内滚子之间、内齿圈齿廓与外滚子之间以及导槽与推杆之间的摩擦角。

如上节所述，催件在随传圈作匀速运动的同时，还相对导槽作加速度为a_r的加速运动。根据达朗伯原理，除了上述真实的作用力及约束反力外，再假想地加上惯性力的反力，这些力在形式上组成一个平衡力系。推杆所产生的惯性力由三部分组成：向心力F_ω，相对惯性力F_r，科氏惯性力F_k，它们的作用点可看作是推杆的质心，其反力的方向如图3.2所示，由理论力学知，它们的计算按下式：

式中m是推杆的质量。

3.2.1推杆单侧受力的平衡方程

当F_J、F_N二力的交点Q落在传动圈所在环内（图3.2所示），推杆呈现单侧受力状态（右侧受力），对推杆质心取矩，可得如下平衡方程式：

由于考虑了惯性力，所以力Fc 不通过交点Q，l_c也是一个未知数。若根据输入功率确定出F_J，则方程组（3.8）只剩下F_N、F_C及l_c三个未知数了。

3.2.2推杆双侧受力的平衡方程

若传动圈尺寸选用不当，或者是机构为反向结构，使F_J与F_N作用力的交点Q 落在传动圈所在环外（图3.3所示）时，推杆呈现双侧受力状态。生产实践表明，推杆双侧受力将造成推杆严重的磨损。这种情况下推杆的受力与传动圈外径尺寸有关。对于图3.3所示受力情况，对推杆质心取矩，可列出它的平衡方程式为：

3.2.3反向结构的受力分析

在传动圈与激波器转向相反的结构中，工作推杆的受力状诚如图3.4所示。从受力状态图可以看出，在运动过程中，推杆与导槽必然形成双侧接触。推杆两侧将造成严重磨损，实际生产中，应避免使用反向结构。

3.3效率计算

3.3.1单个推杆的效率计算

从方程组（3.8）中消去F_N得：

3.3.2整体效率计算

从上面单个推杆的效率计算公式可知，对应激波器的不同转角，效率是不同的。实际上总有多个推杆同时工作，因而应求出整个机构的总体效率。
下面首先来分析驱动力在工作推杆上的分布规律。
设传动构件之间无间隙，并设激波器是完全刚性的。在驱动力矩作用下，各工作推杆的内滚子在与激波器接触处产生法向弹性变形，使激波器转过一个微小的角度△θ，如图3.5所示，则可确定弹性变形量ε_i的分布规律。

设最大弹性变形量为ε，由图3.5可知：

上式中：F_Jm为对应最大变形处的作用力；F_Ji为激波器对第i个推杆的作用力；τ_i为第i个推杆内滚子中心与激波器短轴所夹的圆心角。如图3.2所示。

在任一瞬间，各工作推杆所处的位置是不同的，设第i个工作推杆所对应的激波器转角为，则：

由于相邻两推杆所夹的中心角为2π/Z_C，在某一时刻，只要其中一个工作推杆所对应的激波器位置角（激波器相对该推杆从初始工作位置转过的角度）确定后，其它各工作推杆所对应的激波器位置角也随之确定下来。设各工作推杆所对应的最小激波器位置角为，如图3.6所示，则从对应激波器位置角为的这个工作推杆开始，顺序第i个工作椎杆所应的激波器位置角为：

这样，一旦最小激波器位置角 被确定，各工作推杆所对应的激波器位置角便随之被确定下来，从而各啮合点也被确定下来，称最小激波器位置角 为啮合点定位角，简称啮合定位角。啮合定位角的取值范围是：

0≤<

类似方程组（3.8）的建立及求解，可得第i个工作推杆的F_ci及l_ci，与式（3.10）及（3.11）类同。

考虑到实际装置为双排结构，输入功率P₁可表示为：

为使表达式简洁，本文下面在累加符号“”后的式子中，各参量对应的下标i略去不写，如a_li只写成a_l。

上述式中，n_g表示工作推杆数。在没有顶切，又不修形的理论情况下，工作推杆数n_g为推杆总数的一半。实际上，由于齿廓修形等原因，实际工作推杆数n_g比理论情况下要少。
计算时，先根据输入功率P₁及转速ω_J由（3.19）式计算出F_Jm，然后对每一工作推杆由式（3.17）计算出F_Ji，由式（3.10）式及式（3.11）计算出F_ci及l_ci，最后代入式(3.21）计算出效率η。

当不考虑惯性力时，只需令上述公式中的F_r，F_K，F_ω都等于零，这时公式为：

可见，在忽略惯性力影响的情况下，机构的啮合效率与输入功率、转速都无关。
从式（3.22）或式（3.21）可知，机构的整体啮合效率η与各工作推杆所对应的激波器位置角有关，而各工作推杆所对应的激波器位置角又可随啮合定位角的确定被确定下来。因而，对指定的啮合定位角，由式（3.22）可计算得到唯一的数值，当 在其取值范围内取不同值时，由式（3.22）所计算出的效率也略有不同。为此，将啮合定位角的取值区域［0,2π/Z_C] 平均分成50等分，分别用式（3.22)计算啮合定位角取这50个位置的不同数值时机构的啮合效率，然后取其平均值作为机构的总平均啮合效率场，即

对交点Q落在传动圈所在环外的情况，在方程组（3.9）中消去F_N后，类似上述方法同样可求得此时的效率计算公式。实际计算表明，这种情况效率较低，而且推杆受力状态不好，将造成严重磨损。实际设计中应避免这种情况发生。因而在设计推杆减速器时，应正确选用传动圈尺寸及其它各参数，以确保Q点任何时候都能落在传动圈所在环内。
［算例]：

TW-3-16推杆减速器的参数是：T_b=50mm,T_z=6mm，e=3mm，l=22mm，Z_N=15,Z_C=16。

分析推杆减速器各啮合副的形式可知，推杆与导槽是滑动摩擦接触，激波器与内滚子可近似看作滚动摩擦接触，而内齿圈与外滚子之间滚滑两种成份都有。

由文献查得滑动摩擦系数为0.05-0.1，而滚动摩阻系数k=0.01mm，由文献可知滚动摩擦系数为k/T_z=0.0017。由于摩擦系数只是个参考数值，为了使计算结果更有实际意义，选用了三组不同摩擦系数的值，计算结果如表3.1所示。

表3.1选用不同摩擦角时啮合效率的计算结果

θ₁              θ₂                θ₃                    η_P

0.002           0.01              0.06                   0.958

0.0025          0.015             0.07                   0.951

0.003           0.02              0.08                   0.946

设η机为推杆减速机的整体效率，η_Z为轴承效率，η_J为工作时搅动润滑油的功率损失，则应有：

                  η机=η_P·η_Z·η_J                              （3.24）

由试验知，η机=0.91，整机采用了4对轴承近似取η_Z=0.97，η_J =0.98,由式（4.24）可得η_P=0.957。可见，实际啮合效与理论计算基本相符合。

3.3.3构件尺寸对啮合效率的影响

为了判断推杆减速器构件尺寸对其效率的影响，对3TWY7.5-12推杆减速器，选用同一组摩擦系数，而改变某一基本构件尺寸，并假定传动圈尺寸随之改变以确保受力交点Q落在传动圈所在环内，计算其啮合效率，结果如图3.7所示。

从图3.7可以看出，啮合效率随着激波器偏心距e的增大而升高，随着激波器半径T_b、滚子半径T_z、推杆长度l的增大而降低。其中偏心距。对效率的影响最为严重，推杆长度对效率的影响最小。

3.4强度校核

根据推杆减速器结构上的特点，强度校核应着重于各零件之间的接触强度。由于激波器与内滚子之间以及内齿圈与外滚子之间不仅相互作用力大，而且是线接触，因而这些零件是需要进行接触强度校核的主要对象。在推杆与传动圈导槽之间，由于接触面积较大，故接触应力不会太大。当零件所使用的材料及热处理方式不同时，其许用接触应力大小也不相同，因而对激波器与内滚子接触处以及内齿圈与外滚子接触处都应进行接触应力的计算。
3.4.1激波器与内滚子之间的接触应力

激波器与内滚子的接触，显然是两个圆柱体的相压接触，由弹性力学可知，在接触处产生的

最大接触应力σ_HJ可由下面的赫兹应力公式来计算：

上式中：b为内滚子的工作长度。

E_d为当量弹性模量，，由于E₁和E₁都是钢材的弹性模量，所以E_d=E₁=2.1×10⁵

N/mm²

P_J为当量曲率半径，P_J=

F_Jmax为激波器与内滚子之间的最大夺力，可近假用F_Jm来代替，由式（3.19）可得：

为求上式中的最大值，可将啮合定位角在其取值范围内进行一维搜索。

[σ]_HJ为激波器与内滚子所用材料的最小许用接触应力。

3.4.2内齿圈与外滚子之间的接触应力

由于内齿圈齿廓上各接触点都有对应的曲率，因此外滚子与内齿圈的接触，可看作是两个瞬时圆柱体的接触，在对应于内齿圈齿廓的齿顶部分，相当于两个圆柱体外接触，在对应于内齿圈齿廓的齿根部分，相当于两个圆柱体内接触。由于内齿圈理论齿廓曲线上各点的曲率半径不同，各点的作用力也不相等，因而在赫兹应力公式，需求出F_N/P_N的最大值，最大接触应力σ_HN为：

上式中k₂为外滚子中心轨迹的相对曲率，在齿顶部分其值为正，在齿根部分其值为负。

为求上式的最大值，首先给啮合定位角在其取值范围内指定若干个离散点，对于在每个离散点上的取值，都分别计算出各工作推杆所应的F_N/P_N，取其中最大者。然后把取每个离散点时所对应的最大F_N/P_N再进行比较，可求得。