1 引言

精密丝杠是精密机床、数控机床及其它精密机械与仪器的重要传动装置。为起到将旋转运动转换为直线运动的传动作用，对精密丝杠的精度、刚度、耐磨性等均提出了较高要求。为减小残余应力的影响，丝杠毛坯须经球化退火处理，以获得稳定的球状珠光体组织；为提高丝杠加工系统刚度，需采用高同轴度的跟刀架或导套等辅助支承。引起丝杠加工误差的主要影响因素为热变形和残余应力。目前通常采用冷却降温法或热变形补偿法来提高丝杠加工精度。冷却降温法是通过直接降低精密丝杠的加工温度以减小热变形量；热变形补偿法则是通过建立丝杠加工时的热变形数学模型或根据检测加工结果由补偿装置对丝杠进行误差补偿。采用数学建模与实际检测相结合的方法进行误差补偿对于提高丝杠加工精度效果较好。精密丝杠的热变形主要源于砂轮磨削加工产生的环状移动热源在丝杠上产生温度分布引起的热膨胀，因此在热变形数学建模中需考虑的因素有：磨削热形成的热源特征、热源的移动性、热量沿杆件的传导特征、热量的散热特征等。此外，加工后的残余应力对丝杠尺寸的影响也不容忽视。

2 精密丝杠温度分布数学模型的建立

数学建模时，首先需对精密丝杠作如下假设：①丝杠材料具有弹性、连续、均匀、各向同性的特性，且丝杠内无初应力（已经过时效处理）；②丝杠螺纹部分的尺寸与丝杠直径相比很小，其对丝杠内部热传导的影响可忽略不计，即丝杠可简化为圆柱体；③丝杠两端绝热。磨削加工丝杠时所产生的磨削热约有60%～95%被传入被磨丝杠中。由于磨削速度极高，热量瞬间聚集在丝杠表面形成局部高温，随着砂轮沿丝杠轴向进给，热量向丝杠两端及内部传导，同时与丝杠表面的冷却介质发生对流换热。因此，丝杠磨削加工时的热量传播方式主要包括磨削表面所需表面能、残留于表面和磨屑中的应变能、砂轮的温升、丝杠内部的热传导、丝杠与冷却介质的对流换热等。传入丝杠内部热量的主要传播方式为丝杠内部热传导和丝杠表面与冷却介质的对流换热。磨削丝杠时，可将砂轮视为环状移动面热源，其在柱状工件内的热量传播方式。根据Fourier热传导基本定律，可求解此环状移动热源所引起的丝杠各点位置温度。丝杠内部热传导可按非稳态温度场的柱坐标基本微分方程求解，即

∂T	=α（	∂²T	+	1	∂T	+	∂²T	）

∂τ		∂r²		r	∂r		∂z²

（3）

式中：T——丝杠各点温度

τ——时间

α——丝杠热传导系数

r——丝杠半径面热源在柱状工件内的热量传播

初始边界条件为

T|_τ=0=T₀（r,z）

（2）

-λ	∂T	\|_r=R=h（T_ω-T_∞）

	∂τ

（3）

式中：T₀——丝杠初始温度，为常数

λ——材料的传热系数

h——与冷却介质相关的表面对流换热系数

T_∞——冷却介质温度

T_ω——丝杠表面温度

以热源为固定点建立移动坐标系，u=x-vt（v为热源移动速度），可得

{

∂	=-v	∂

∂τ		∂τ

∂²	=	∂²

∂x²		∂u²

（4）

联立求解式（1）～（4）可得

T（r, z）=	T₀	∫	^∞	hJ₀（jfr）e^jλzsinωλ	dλ

	2π		_-∞	hJ₀（jfr）-jfJ₁（jfR）³λ

（5）

式中：J₀，J₁——0阶和1阶Bessel函数

ω——环状热源宽度

由式（1）解析算法计算丝杠各点温度值非常繁琐，故通常采用数值算法进行近似计算。

上述计算方法建立在式（1）基础上，式（1）的导热微分方程是能量守恒定律的一种数学表达，但它仅考虑热量在固体内部传导时的能量守恒状态，并未包括对流换热、辐射等其它热传播方式引起的能量分布状况。因此，当考虑对流换热、辐射等热传播方式时，应将其影响作为初始边界条件对导热微分方程的解进行校正，如式（2）、（3）。式（3）中第三类边界条件包含丝杠表面温度T_ω，其值需通过理论计算进行预测，在实际加工中不易获知。式（3）中的T_ω是针对特定的丝杠及环境条件通过实验测得的，计算出的理论预测解也只有在这些特定条件下才成立，而实际加工中丝杠的种类、材料、尺寸精度等均不相同。此外，因式（5）计算过程复杂，通常采用数值逼近的近似算法，这也限制了它在生产上的应用。本文基于能量守恒定律，考虑了对流换热等不同热传播方式的影响，提出一种更为简便的解析计算方法。由于丝杠的直径/长度比较小，故可将计算模型看作求解面热源在柱状工件中引起的温度分布。以dx

微元体为研究对象，左端单位面积、单位时间内输入的热量为q_x，右端输出热量为	q_x	dx+q_x，即

	dx

dQ_in=πr²q_x

dQ_out=πr²（q_x+	dq_x	dx）

微元体的内部存能项为

E_st=ρc	dT	dv=ρc	dT	πr²dx

	dt		dt

式中：ρ——材料密度

c——材料比热容

ρc	∂T	——丝杠单位容积的内能随时间的变化速率

	∂t

当砂轮磨削丝杠一段时间后，丝杠内部热量处于相对平衡状态，此时的热变形量相对稳定，dT/dt≈0，故微元体内部存能项E_st≈0。设丝杠冷却介质温度为T₀，发热系数为λ，则dx段从表面散失的热量为

dQ=2πrλ（T-T₀）dx

在热平衡状态下，dQ_in-dQ_out=dQ，则有

d²	=	2λ	（T-T₀）

dx²		kr

T=T₀+ce

√

2λ

kr^x

+De

√

2λ

kr^x

当x=∞，T=T₀时，由上式可得c=0，则有

T=T₀+De

√

2λ

kr^x

（8）

若磨削热量有δQ传入丝杠内，且达到热平衡后全部以丝杠发热形式散失，考虑到热源的热量是向丝杠两端传播，则有

1	δQ=2πrα	∫	∞	（T-T₀）dx

2			₀

将式（8）代入上式，可得

δQ

2πr

√
	2λkr

因此有

（9）

式（9）即为丝杠各点温度分布的解析计算式。磨削热" 可在一定磨削条件下由经验公式计算得出。

磨削加工丝杠时，面热源以速度v沿轴向进给，经过t时刻后，位置为x的点相对于热源的距离为x'=x-vt，将其代入式（9），可得丝杠各点温度分布的解析计算式为

（10）

3 精密丝杠热变形数学模型的建立

设丝杠的平均线热膨胀系数为α。当面热源位于丝杠某位置时，丝杠处于热平衡状态，此时丝杠内所含热量对于该持续热源来说处于饱和状态。当该热源移动至另一新位置时，丝杠各点热量将重新分配，因热源稳定提供一定热量，故丝杠内部所含热量始终相等。由式

可得

可知，当丝杠中的热量相等时，无论热量如何分布，丝杠的温度总和仍相同。若持续热源位于丝杠的不同位置，在丝杠上将产生不同的温度分布函数f₁（x），f₂（x）且

设丝杠的平均线热膨胀系数为α，则两种温度状况下的平均热变形量为

因此 ΔL₁=ΔL₂

由此可知，当采用平均线膨胀系数进行计算时，移动热源在任何位置引起的丝杠热膨胀量均相同，因此可用固定热源代替移动热源，从而可简化计算而不会影响计算精度。丝杠dx段的温度为T-T₀，该段的热变形量为

dL=α（T-T₀）dx

故丝杠全长的热变形量为

将式（9）代入，可得

（11）

4 残余应力对精密丝杠尺寸的影响

（1）残余应力引起的丝杠尺寸变化

残余应力对精密丝杠尺寸的影响在工程应用中长期被忽略，主要原因是这一影响在加工完毕后不易立即发现，而是表现为较长时期的缓慢作用。丝杠经较长时间使用后，相当于进行了自然时效处理，丝杠中的残余应力逐渐释放和减小，丝杠尺寸也会随之发生变化，甚至可能引起较大变形。

假定丝杠为完全弹性体；丝杠的切向残余应力为σ_θ，轴向残余应力为σ_z，径向残余应力为σ_r；加工后丝杠的标准尺寸为半径r₀，长度L₀；经自然时效处理后，丝杠的半径和长度分别由r₀、L₀变为r、L。可将丝杠看作尺寸为r的长轴在应力σ_θ、σ_z和σ_r作用下变形至r₀和L₀的平衡状态。当施加相反应力-σ_θ、-σ_z和-σ_r时，因工件为完全弹性体，故丝杠应由r₀和L₀返回加工后的原状态。

极坐标空间的应力物理方程为

（12）

式中：µ——材料的泊松比

E——材料的弹性模量

空间轴对称几何方程为

（13）

求解式（12）、（13），可得丝杠的尺寸变化量为

（14）

由于径向残余应力与其它残余应力相比很小，因此其影响一般可忽略不计。

（2）计算实例

已知：精密丝杠长度L=1600mm，直径r=60mm，弹性模量E=21×10⁴MPa，泊松比µ=0.26，磨削后的残余应力分布。横坐标h表示距表面深度（mm），纵坐标σ表示残余应力（MPa），实线表示轴向应力，虚线表示切向应力。

求：由磨削残余应力引起的精密丝杠尺寸变化量。

解：计算时，将残余应力分布曲线简化为直线，则轴向应力函数为

（15）

切向应力函数为

（16）

由式（14）可得

同理可得

5 结语

在精密丝杠的磨削加工中，磨削热是引起丝杠加工误差的主要影响因素。丝杠热变形的计算通常需要根据实际加工情况建立温度分布数学模型，但实际加工情况的复杂性（如持续放热移动热源）增加了数学建模难度。而基于能量守恒定律，采用平均线膨胀系数进行计算，则只需考虑热量含量相同的任一温度分布状况的热变形计算，可在保持原有精度的前提下大大简化数学模型，使丝杠热变形的计算变得简洁、方便，因此在实际工程应用中具有较高实用价值。

在精密丝杠使用一段时间后，因残余应力释放引起的丝杠变形误差也不容忽视，为此必须对磨削加工引起的残余应力分布状况进行计算，并据此进行误差补偿。目前对磨削残余应力的研究多集中于对实验数据的分析，而从理论上确定磨削加工残余应力分布状况则是今后需要深入研究且具有应用价值的工作。