球磨机钢球尺寸的选择综述

    式中  k —比例系数，2.5~130范围。
    比例系数k宽达2.5~130，简直无法使用,证明采用这种简单的方法是不行的。之所以不行是因为：①钢球直径D_b受众多因素影响，只抓住一个给矿粒度而丢开各种因素的做法本身就是不科学的。为大范围的误差产生打开了通道。②钢球直径D_b与各种影响因素之间关系错综复杂，没有任何依据可以说明钢球直径D_b与给矿粒度d之间存在直接的及单一的比例关系，既然是这样，还要去寻找这种比例关系，方法本身就是不科学的，得出的关系也只能是虚假的，不可能有应用价值。
    后来，人们在总结前面教训的基础上前进了一步，不再去寻找直接的比例关系，而是认为球径D_b(mm)与给矿最大粒度d的某次方根成比例，而且考虑的因素有所增加，并把没有考虑的因素均包括在比例系数中。由于各个研究者考虑问题的出发点不同，并且各人的经验也不同,故提出的球径经验公式很多,下面列出选矿界经常用的几个经验公式：  
    拉苏莫夫公式：

    式中  i —球径系数；
          n —矿料性质参数；
          d —给矿最大粒度，即95%的过筛粒度，mm.
    式(2)不能直接使用,必须针对特定矿石作两组试验,列出两个方程式成一组,从方程组求解出i及n才能得出特定的球径方程式,方可应用。为了方便应用,K.A拉苏莫夫提出,对中硬矿石可以直接使用下面的简便计算式计算D_b(mm)：

    奥列夫斯基公式：
    式中d_k—磨矿的产品粒度，μm.
    戴维斯公式：    

     式中d —80%过筛的给矿粒度；
    k —经验修正系数，对不同硬度取不同系数值：硬矿石，取k=35; 软矿石，取k=30.
    榜德么经验简便公式：  
    式中d —80%过筛的给矿粒度，mm
    我国也有工程师采用优选数选择处理的办法并依靠拉苏莫夫球径经验公式求解推导后提出如下经验公式：

    式中d —95%过筛的给矿粒度，mm.[next]
尽管如此，上述经验公式也仍然存在较大的问题：一是考虑的因素仍然太少，二是用一个经验系数就把其余因素均包括进去，是十分困难的。因而，这些经验公式的误差也仍然是大的。笔者通过试验证明，奥列夫斯基公式计算的结果普遍偏小得多；戴维斯公式计算的结果又普遍偏大；拉苏莫夫简便计算公式计算粗级别需用球径时结果偏小太多，计算细粒级所需球径还基本可行，但也略为偏大；榜德简便计算公式也有拉苏莫夫简便公式类似的毛病，等等。虽然如此，这些公式还是能用，只不过误差较大，如果知道它们的毛病，修正一下还是可供使用。
    由于经验球径公式计算结果的误差大,这必然影响它们的应用。面对此情况,人们干脆通过试验来确定。试验确定球径的方法固然比经验公式计算的结果准确，但试验工作量大，耗时长和耗资大。细粒级的试验较好做，可在实验室磨机上进行试验，工作量不大能为人们所接受。而对于粗磨机，由于给矿块度大，只能在工业磨机上做试验，这个工作量就太大了，试验周期也很长，人力物力消耗均大，愿意做这个工作的厂矿就少了。所以，试验确定球径的方法虽然结果较可靠，但由于上述问题也难于更多地应用。
    人们总是想用公式直接计算球径。最近一些年来仍然在经验公式上下功夫。既然前面的经验公式因考虑的因素太少而误差大，那就增加考虑的因素。在这方面开展研究的也不少，也提出几个包括因素多的球径经验公式,比较典型的是目前欧美国家及地区广泛应用的下面两个经验公式：阿里斯•查尔默斯公司的球径经验公式和诺克斯洛德公司的球径经验公式。阿里斯•查尔默斯公司公式为：

    诺克斯洛德公司的球径D_b经验公式为           

    上述两公司的球径经验公式考虑的因素多达五个，加上经验修正系数k_m值表示其它未考虑的因素，因此,应该说它们考虑了影响球径的主要因素，而且对某些因素还作了理论推导，应该说计算结果比前面那些经验公式要准确些。正因为这样，这两个经验球径公式目前在欧美国家及地区得到广泛的应用。[next]
    但是,上述两个经验球径公式在我国厂矿中应用却不方便。一是它们式子中均含有功指数W_i，我国选矿厂多数没有功指数的资料W_i，要补这种资料时又耗费较多,我国选厂多数只有普氏硬度系数值。二是它们的给矿粒度F用的是80%过筛粒度，单位为μm，而我国长期是使用95%过筛粒度，单位是mm或cm。况且，它们的经验系数是在国外的经验中总结出来的，国外的磨机直径大，直径大的磨机中钢球的位能大，可以弥补球径较小的不足。我国的磨机直径较小,需要的球径较大。故国外的经验未必适合我国选厂。鉴于上述情况，笔者从我国国情出发,用破碎力学原理和戴维斯等人的理论推导出一个球径D_b(cm)半理论公式：

    此公式也考虑了矿石的强度σ_压及尺寸d，考虑了磨机直径(D₀代表)、磨机转速率Φ,并考虑了钢球的有效密度σ_e,对未考虑的因素用综合修正系数K_c来包括，而且不同粒度有不同K_c值。因此可以说，笔者推导出的这个球径公式是目前世界上惟一的一个半理论公式，考虑的因素也是最多的一个,因而,它的计算结果比任何一个球径经验公式更精确。
    以目前人类的认识水平看，要推导出球径的理论计算公式是不可能的，这是因为：①不考虑破碎对象岩矿的力学强度的公式是不科学的，理论公式必须考虑破碎对象的力学强度，但由于岩矿力学性质的复杂性,目前的固体力学根本无法从理论上计算出岩矿的力学强度，而只能借助工程测量的结果,这就引入了试验的实测资料。②现代数学也无法求解十多个未知数的方程,要把影响球径的十多个因素都包括进去求解是不可能的。③有些影响因素目前还无法从理论上作出量的描述，不能不借助经验修正系数来修正。
    因此，目前要得到理论公式是不可能的，最多只能得到半理论公式。从这一点上说，上述的半理论公式在目前来说也算是较完善的了，若对它进行认真验证和修正,是应该在我国得到广泛的应用。笔者最近又对此半理论公式进行了修正，使此公式在粗磨、中磨和细磨的广泛领域均能精确地计算特定条件下所需的球径。经若干选厂的工业试验和生产应用证明，球径半理论公式能解决各粒级下球径的精确计算问题。
    （三）试验确定球径的方法
    由于用经验公式计算的球径误差大，而球径大小对磨矿的影响又极大，因而直接采用试验来确定所需球径必然成为确定球径的一个重要方法。
    试验确定球径的方法，当然受多种可变参数的影响，为了简化问题,只能将一些重要的可变参数固定在一定值域内,然后通过试验求出给矿粒度与球径之间的关系。在具体做法上，选定待计算磨机在生产上常用或确认的工作参数如转速率、装球率、矿浆浓度等为固定值，然后根据经验确定几组钢球分别进行试验，效果好的一组球即为选择的最佳球径。
    试验确定球径的方法可以在实验室磨机上进行，也可以在工业磨机上进行。显然，实验室磨机上的试验要简单得多，工业磨机上的试验则艰巨复杂。
    实验室磨机的规格小相应的给矿粒度也小,试验结果可作为中细磨机的球径选投依据。因为给矿粒度小通常3~5mm以下，给矿粒度范围窄，因此采用单种球径球组进行试验即可。选择的球组不应低于3组,最好是5或6组,目的是要将待求的最佳球径包括在内,不漏掉最佳值。当其它参数固定不变时磨机指定级别在生产率与球径之间的关系是一个单峰函数,如图1所示。如果选择D₁、D₂、D₃三种球，生产率曲线到D₃时呈上升趋势，无法判定D₃，是最佳球径值；同样,选择D₄、D₅、D₆三种球时，也无法判定D₄是最佳球径值,只有使生产率曲线达到峰值和导数转向时才能找出最佳值。

图1  磨机生产率与球径的单峰函数曲线

    试验方法中的一个重要问题在于，如何判定磨矿效果的好坏。就以生产率而论，达不到指定级别(如0.074mm或其它粒度)的称为“粗级别”，达到指定级别及以下的称为“细级别”，而细级别中又包含“过粉碎”级别，几者之间的关系可表示在图1中。
    显然，以处理量大小作为生产率大小的判据是不科学的，因为磨矿的目的是使物料必须达到一定细度,只有用实现这一目的程度的指标作为判据才科学。但是,如果仅以达到指定粒度以下的细粒级含量多少来判别生产率大小时也仍然有问题，因为细粒级产率愈高时产生的过粉碎粒级产率也愈大,不见得合格粒级产率就大。磨矿不仅要使产品粒度达到指定细度，而且过粉碎粒级应该尽量少。因此，人们提出以“磨机技术效率”这一指标来判别磨机工作的好坏,磨机技术效率E为：[next]

图2  磨矿产品的粒度划分

    式中  γ —小于指定粒度级别的产率，%；
          γ₁ —给矿小于指定粒度级别的产率，%；
          γ₂ —给矿过粉碎粒度级别产率，%；
          γ₃ —产品中过粉碎粒度级别产率，%。
    从公式(11)中可看出，当全部产品均匀过粉碎时，磨机的技术效率为零。磨机技术效率是从产品粒度上来判别磨矿过程好坏的。这套办法不仅计算复杂，而且与磨矿的力学过程联系不够紧密。
    笔者认为，磨矿过程是一个粒度减小的力学过程，那么就应该用对粒度减小最佳的指标作为磨矿过程好坏的判据才更为科学。人们已提出了磨矿动力学的基本方程式：

    式中  Q —经过时间t以后粗粒级残留物量；
          Q₀ —磨矿开始瞬间粗粒级的原始含量；
          t —磨碎时间；
          K —由磨矿条件决定的常数。
    从方程式(12)看出，常数K实际上反映粒度减小的快慢，可称为磨碎速度常数，由方程式(12)得：
    或                           

    原料中粗粒级含量Q₀是已知的,只要测出磨碎时间t下的粗粒级含量Q便可求得K值。分别求出各组钢球在同一磨碎时间下的K值并进行比较；K值最大的球组具有最大的磨碎速度，显然是最佳球组。以K值大小来选择球径的方法，紧密和磨矿过程减小粒度的目的相联系，且求取的方法简单，是一种科学的方法。笔者在选择云锡公司中细磨球径时曾经用过，取得好的效果。
    实验室球磨机的给矿机难以给出10~25mm粗的矿粒，实验室球磨机也难以装入大的钢球，因此,粗磨机中最佳钢球尺寸只有在工业生产磨机中试验确定。但工业生产磨机是个连续生产设备，要判别哪一种球或哪一组球好，需要长期的观察、分别考查磨机排矿、分级溢流、分级返砂的最大粒度和平均粒度，以这两个粒度的粗细来判断球径的过大过小，并配合磨机按指定级别计的利用系数q(t/m³•h)来共同判断哪一组球最佳。此种工业试验,试验一种球需1~3个月，试验五六种球需一年以上，不仅试验周期长，而且要作多次清球，工作量大、耗资多。所以，进行此种系统工业试验的厂矿不多，多半是经长期使用加观察分析而得出结论。当然，这种结论欠说服力，带有强的经验性。
    为了解决工业试验周期长、工作量大和耗资多的问题，笔者提出简化球径工业试验的方法。即在实验室直径400mm以上的大型实验室磨机中作间断磨碎试验，使不同球组磨碎到生产产品细度水平上进行比较,同样可以确定出最佳球径。确定的最佳球径再在工业磨机中进行观察分析验证。这不但大大缩短试验周期，减少人力物力，也为工业试验排除风险。笔者曾在几个厂矿进行过这种试验，证明方法是成功的，效果是好的。
    （四）经验球径公式的局限性与误差
一经验球径公式是在大量试验资料或生产资料的基础上总结出来的数学模型。此种方法对于影响因素错综复杂而在理论上难于取得进展的球磨过程来说，仍不失为一种有用的方法。此类方法得出的公式其可贵之处在于它来源于实践而高于实践，既有可靠性也有实用性。在这以前的漫长岁月中，选矿工作者也正是利用这些经验球径公式加上自己的经验来解决磨机的球径，解决问题的。
    但是，从球径经验公式产生的方法上不难看出它有自身的局限性，而且有较大的误差。尽管试验资料或生产资料是丰富的，但也仍然是有限的，或者是试验和生产的设备规格以及形式有限，或者是试验和生产的矿石种类有限，也或者是试验次数和生产时间有限，总之，资料的来源是有限的。这样，在有限的资料上总结出来的模型其使用范围也必然是有限的，跨越这个有限的范围也就失去可靠性。因此，经验公式一旦跨出总结它时所依据的资料范围，就必然产生大的误差。
    即使对同样的试验和生产资料，不同的研究者采用的数学处理方法有别，因而得出的数学模型不相同,计算出的球径结果也不相同。
    另外，球径经验公式中均带有经验修正系数，不同的研究者根据各自的经验，所取的经验系数值不相同，自然算出的球径结果也不相同。
    上述分析表明，研究者在什么条件下总结出来的经验球径公式适用于总结它时所限定的条件，如若把它推广应用，与限定的条件不同时必然产生较大误差，还必须再对它进行经验修正。认识经验公式的局限性是必要的，而针对局限性进行经验修正也是必要的，否则将产生较大的误差。
    下面以我国选矿界常用的K.A.拉苏莫夫经验球径公式的应用来说明经验公式的局限性与误差问题。
    K.A.拉苏莫夫根据某些平均条件提出，磨矿所需的钢球直径D_b与给矿粒度d的n次方成比例，若比例系数为i，则得：   [next]      

    显然，不同的磨矿条件有不同的i及n值，对每个具体的磨矿条件都必须用实验方
法求出i及n值，然后才能运用公式（14），这就是此公式的局限性。
    公式（14）的求解，必须对具有两个方程式的方程组求解，两个方程式才能求解两个未知数。假设给矿粒度d₁通过试验求出需要的球径是D_bl，则得一个方程式：

    再设给矿粒度d₂通过试验求出需要的球径是D_b2，则又得另一个方程式：

    联立方程式（16）和（16），并求解此方程组的i和n:

     式（18）变换得：
 

    式（19）两边取对数得：

    式（20）中，d₁，d₂,D_b1和D_b2均是已知数，故n可以求出。n值求出后返回代入式（17），则i也就可求出。
    求出i及n后，就得出该特定条件下的球径D与给矿粒度d之间的通式：
                                                                     D_b=idⁿ   
    也就可以由此通式计算该特定条件下各给矿粒度所需的球径。如果磨矿条件改变，必须采用同样的方法找出新的通式。这是此公式的局限性，不能跨越求解方程时的特定条件去使用。
    此公式的问题在于，以粒度d₁和d₂进行试验，则得到的公式通式在d₁~d₂范围内应用时较为准确，若超过d₁~d₂范围应用时必然产生较大误差，因为岩矿的力学强度是随粒度变细而加大的。例如，d₁和d₂,的试验通常在实验室内进行，所用的给矿粒度通常在5mm以下，粒度较细，矿粒力学强度较高。而试验得出的通式，其参数是在d₁~d₂,范围内求出的，如果推广用于d=10~25mm范围，求出的球径必然是偏大的，因为10~25mm矿块的力学强度比5mm及以下明显地小，则计算粗块下所需的球径必然偏大。例如，有人用5和3mm两个粒级在实验室做试验，求出i和n后得通式，再用通式计算25mm矿块所需的球径是Φ125mm。而笔者采用自己修正后的球径半理论公式计算，只需Φ100mm就足够了。通过一年的工业试验，证明采用Φ100mm钢球比Φ125mm钢球好得多。说明原来计算的球径是偏大的。这就是拉苏莫夫球径公式产生误差的原因所在。
    由于K.A.拉苏莫夫公式D_b=idⁿ需要做试验确定参数i和n，使用较麻烦。他又提出，对中硬矿石可以直接使用简便计算公式：                              

    范围的均算中硬矿石， 的矿石的强度为 的矿石的两倍，但计算用的同一公式，哪会有不产生较大误差的道理？而且，该简化公式广泛用于中硬矿石不同磨矿条件，产生的误差必然比公式（14）的更大。[next]
    （五）实践确定球径经验方法的普遍性
    由于影响球径的因素错综复杂，难于从理论上解决球径的计算问题，人们只有通过实践的办法确定球径的最佳值。前面提到的用试验确定球径的办法，以及依据生产实践资料而提出经验公式的办法，均属于实践解决问题的范围。尽管这类办法得到的结果有局限性和误差较大，但它毕竟来源于实践，有真实可靠的一面，在没有更好的办法之前它仍然是人们广泛应用的办法。
    不同的研究者进行试验的条件各不相同，得出的结论必然各不相同。而且不同的研究者研究时所依据的生产资料不同，即使对同一批生产资料，不同的研究者使用的数学处理方法也不相同。因此，用实践方法求得的球径经验公式是各种各样的，五花八门的。原苏联的T.K斯梅什利亚耶夫（CMbІШЛляеB）认为，钢球直径与被磨矿石粒度之间有一定函数关系，并绘出钢球直径与矿石粒度的关系曲线，从曲线上查取所需球径。显然，这种办法只适合于设备和矿石等均确定的情况，条件改变就不适用了，必须绘制新条件下的新曲线。
    在水泥生产中，磨碎矿渣料时球径的选择计算往往是针对具体的磨矿条件来进行的，因此，各个研究者得出的结论往往是不相同的。H.R.斯塔克(Starke)用硅酸盐水泥渣作被磨物料进行磨碎试验，认为对球的尺寸而言存在着对磨矿特别有效的特定粒级，得出 时磨矿效率最好的结论。F.W. 鲍迪斯(Bowdish)用高纯度石灰石进行试验后得出的结论是，球径D_b与被磨物料粒度d的比值 为某一值时有最大的磨矿速度常数。这个比值随给矿粒度不同而不同，4.699~0.15mm之间各级别的最佳球径比介于14~40之间。M.帕帕德基斯（Papadakis）认为球径过大过小均不好，中间存在一个最佳球径，但该值必须通过实验才能确定，即用实验室球磨机进行试验，求出在较短的一定时间内大粒子能大部分消失的最小球径。若d₀和d₁为应磨碎的最大粒径，W₀和W₁为球的功能，则可按 的比例扩大。J.N.尼吉曼（Nijiman）的研究认为，球径D_b与给矿粒度d之间应有恰当的关系，并提出以为半径的区域属磨矿范围，D_b及d的配合应保证磨碎速度常数有大的值，因磨碎速度常数与给矿粒度d之间属单峰函数，只有给矿粒度为某一恰当值时才能有最大的磨碎速度常数。G.M-empel认为，磨机的材质和直径已定，且保持转速，球的充填率为最佳状态，所以供给的势能只要改变球径就能发生变化，并提出由最大起始磨矿速度来确定最佳球径的方法。有的研究者认为,为了使磨机有效地工作，必须具有正确地选择球径的方法，并认为以前考虑的因素中以岩石为对象的很少，很难测定(如松泊比)，故提出充分考虑磨机影响参数和岩石机械性能来确定球径的方法：

    式中  D_b —所需球径，cm;
          d —给料粒度，cm；
          K_n —塑性系数，为总比功量/弹性变形比功量；
          D —磨机直径，cm
          σ_B —压缩应力，kg/cm²;
          δ_B —球的密度，kg/cm³;
          E_p —矿石弹性模量，ks/cm³;
          F —系数，可取为0.15；
          K —相对半径，cm ;
          Φ —转速率，%。
    总之，在水泥磨机中，确定球径的方法多半采用实践的办法，通过试验确定一定给料粒度下的最佳球径。通过实践确定球径的经验方法具有普遍的意义，对各种矿料均适用，但此种方法较为麻烦，且局限性大，经验性强。
    经验球径公式大多数有以下特点：①考虑的因素少，只2~3个，这与磨矿过程影响因素众多的实际不相符；②整个公式在不同粒度范围内使用时均用同一个经验系数,而岩矿在不同块度下抗破坏性能是不相同的，这种以不变应万变的做法与岩矿抗破坏特性不相符；③矿石粗磨和细磨时无论岩矿的力学性质影响、粘度影响、打击效果影响等等均存在较大差异，但各个经验公式均没有考虑这些，这与磨矿的实际过程不相符。由于上述三个特点，导致各个球径经验公式必然在计算中产生较大误差，这里不再一一分析。