此处， ,当n为已给定时，a为常数。 公式（1）是以磨机中心O为极点,坐标轴OY为极轴的圆曲线方程,此圆的半径为。由于每一层球皆有一脱离角ai与球层半径Ri,并且符合上述关系,因此诸Ai皆在以O1为圆心及为半径的圆上。这个圆就是各脱离点Ai的轨迹,见图1。落回点Bi到磨机中心的距离为Ri，与极轴OY之间的极角θ可得知为 点Bi也在圆运动轨迹上,于是照样有极坐标方程式 当时，R=0，此方程式表示的曲线(即巴斯赫利螺线)将通过磨机中心(即极点)O。公式(2)代表的曲线就职诸落回点Bi的轨迹。 图1 脱离点（Ai）和落回点（Bi）的轨迹[next] 2.最大脱离角和最小球层半径 由上图显然可知，愈近磨机中心的球层，它的脱离点轨迹和落回点轨迹愈靠拢,到了磨机中心O处即汇于一点。从现象上看，愈靠近磨机中心的球层，它的圆运动和抛物线运动相互干扰愈历害，以致二者几乎不可分。因此,最内球层的半径R2必有一极限值，小于它,球层即无明显的圆运动和抛物运动。这个极限值叫做最小球层半径(R最小 ),可将它导出如下。 当时
，XB有极限值。于是，
解此方程式，得到两个a值分别为 和 。从β角与a角的关系看，当a=26°44′时,β=-9°48′,即落回点在OX轴的上方及OY的右边。当a=73°44′时,β=131°12′,落回点在OX轴的下方及OY轴的左边。从
[next]
这两个公式指出：最外层球的脱离角仅与转速率有关,而最内层球的脱离角,即与转速率又与装球率(用K标志)有关。
根据上面讲的情况可知，为了保证最内层球也能处于抛落状态(即所有球层都是抛落的)，装球率与转速率必有一确定关系。而且这种关系又必有临界点,过了这种临界点,磨机的转速不足以使晕内层球作抛落，钢球于是处于泻落状态。这里将用计算结果绘制的曲线表示如下图。图中表明了装球率、转速率和球层半径的关系,也表明了由这种关系所确定的泻落和抛落的界限。
图2 K、ф和φ的关系及抛物落状况的界限
图3 磨机内的各区域和球荷切面积[next] 4.磨机内的各区域与球荷切面积 （1）磨机内钢球分布的区域和各区域的磨矿作用 在详细地分析磨机内钢球的运动规律之后,就可以把钢球分布的几何形状较为准确的画出，如图3。从图中明显地看出,磨机内部分为四个不同的区域。 ①钢球作圆运动区—图中画实影线的部分，钢球都作圆运动，矿石被钳在钢球之间受磨剥作用。 ②钢球作抛物落下区—图中画虚影线的部分，表明钢示纷纷下落的区域。在钢球下落的过程中，没有磨着矿石,直至落到用落回点轨迹BB2表示的底脚时，钢球才对矿石起冲击作用。 ③肾形区—靠近磨机中心部分，钢球的圆运动和抛物线运动已难明显地分辨。在末画影线形状如肾的区域中,钢球仅作蠕动，磨矿作用很微弱。当装球较多而转速又不足以使它们活跃地运动时，肾形区就较大，磨椸效果也较差。 ④空白区—在抛物落下区之外的月牙形部分，为钢球未到之处，当然没有磨矿作用。转速不足时，钢球抛落不远,空白区就较大。转速过高，钢球抛得远，空白区虽然小，但钢球直接打衬板会造成严重磨损，磨矿效果也差。 磨机内的分区不仅如此明显，而且能定量地计算出它们的范围，下面讲的球荷切面积可作说明。(2)球荷的切面积磨机转动时，其中有球的空间,一部分分布着作圆运动的球,另一部分分布着作抛物线落下的球,取与磨机长轴垂直的切面来看，全部运动关的球所占的面积为Ω,而作圆运动部分的球所占的面积为Ω1,作抛物线运动的球所占的面积为Ω2，则Ω=Ω1+Ω2 （ 7 ） 在动态下的装球率为
[next] 任取一层球，它的球层半径为Rc,脱离角为aC，落下角为βC，此球层所对的圆心角为фC，由图3可以看出， 在R2与R1范围内积分上式，得到 在Ω及Ω1求出之后，Ω2也就可以算出。例如，某磨矿机的内半径为R，转速率为76%，适宜的装球率为40%,求它的球荷切面积Ω，Ω1，Ω2。根据公式2-26，Ω=0.4πR2。如果取位居中间的那层球来计算, 。最内层球能作抛物落下的极限条件，由公式（10）可知为
显然可知，装球太少，Ω就很小，磨机内起磨矿作用的部分不多。装球尽管适宜，但转速过低，几乎没有Ω2,成为泻落状态,磨剥作用比冲击作用占优势。只有装球率和转速率都适合,才能保证发生抛落状态,并有较大的Ω2,使冲击作用较为充足。
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