一、三个主要的破碎耗功学说
在选矿厂中，电能的绝大部分用于破碎矿石。为了深入理解破碎矿石过程，评价破碎机械的效率，和找寻更有效的破碎方法，百多年来出现了很多有关破碎耗功的理论。其中有三个最主要的，为举世所公认，在此将作介绍。
大家都知道，破碎过程是不会自动发生和不可逆的，必须外力对矿石作功，克服它的内部质点间的内聚力，才能发生破碎。当外力对矿石作功使它破碎时，矿料的潜能也因此功的转化而增加。因此，破碎耗功理论实质上就是,阐明破碎过程的输入功与破碎前后矿石的潜能变化之间的关系，从而明确输入功是怎样耗去的。破碎物料时,它的强度、给矿粒度、产品粒度和耗功，是直接易为人查觉的，因此各种功耗学说都必须确定出它们间的关系,这是各种破碎耗功学说的共同点。但因每一种耗功学说都从不同的角度看问题，所以它们的物理根据和导出的数学形式也就不同。
1.P.R雷廷格（Rittinger）学说（1867）
当物料被破碎后，产生了新的表面积，产物的表面积必然比原物料的表面积增多。位于物体表面上的质点，与内部的质点不同，由于与它相邻的质点数目不够使它平衡，因而存在着不饱和键能。分裂物体时,必须克服它的内部质点间的内聚力，使内部质点变为表面质点，表面上的位能于是增加,因此，破碎物体要消耗一定数量的功。根据此理,P.R雷廷格认为：外力破碎物体所作之功，转化为新生表面积上的表面能,故破碎过程所消耗的功与新生表面积成正比。可以将这种意义表示为：
dA1=γdS ( 1 )
式中 dA1 —生成新表面积dS所需的功；
γ—比例系数，即生成一个单位新表面积所需的功，又可以做比表面能。
设D为矿块的直径，k1为由直径求表面积的形状系数,k2为由直径求体积的形状系数,那么，k1D2为表面积，k2D3为体积。又设Q为被破碎矿石的总重量，δ为单位体积的矿石的重量，在总重量中含有直径为D的矿块数是：
根据公式（1），可以列出破碎重量为Q的矿石所需的功如下：
式中
设D0为给矿直径，Dp为破碎产物直径，在Dp与D0限内积分上式，得到：
式中的i为破碎比。[next]
应用上面公式时，由于给矿和产品都是混合粒群,故应当用它们的平均粒度作计算。选用计算平均粒度的方法如下。
因为破碎物料消耗的功是物料直径的函数,对于雷廷格学说，此函数的形式为f。设(D0)平均是原物料的平均直径，(D0)i是原物料中个别粒级的直径，γi是个别粒级的重量百分率。当(D0)平均能极充分地代表物料的粒度时,用它按规定的函数计算得的结果，应当和用个别粒级按同一函数计算的结果再求得的算术平均值相等
将这个道理用来求雷廷格学说中的平均直径，可以写出
同理，雷廷格学说中的产物的平均直径的计算为：
公式（7）和（8）都是调和平均法。
2.B.Л吉尔皮切夫(ΚИРΠИЧӘВ)（1874）或F.基克（Kick）(1885)学说
外力作用于物体发生弹性变形时，它所作的功储存在弹性体内，成为弹性体的形变能。岩矿是脆性物料，在弹性范围内，它的应力和应变关系并不严格遵从虎克定律，如下式所表达的。
бm=εE ( 9 )
式中 б —应力；
ε —应变；
E —弹性模数；
m —接近1的指数，对于花岗岩，m=1.13。
象岩矿这样的脆性体，它的弹性极限接近于强度极限，因而可以把弹性范围内的形变能公式近似地用于破裂状态。于是，体积为V的脆性物体，在外力为O~б（强度极限）范围内发生变形，它储有的形变能为：
B.Л吉尔皮切夫和F.基克都认为，破碎物体的外力所作的功，完全用于使物体发生变形，到了形变能储至极限，物体即被破坏。他们根据这种物理基础，提出的破碎耗功学说可以叙述为：使几何上相似的同种物料，破碎成同样形状的产品，所需的功与它们的体积或重量成正比。这个学说的内容，可以用下式表达。[next]
dA2=KdV ( 11 )
式中 dA2 —破碎体积为dv的物体所需要的功；
K—比例系数，即破碎一个单位体积的物体所需的功。
按照推证公式（4）的方法，并且所用符号的意义也一样，可以得到：
式中
在给矿直径（D0）和破碎产物直径（Dp）限内积分上式：
应用公式（14）时，也要确定给矿和产物的平均直径的计算法。根据这个学说，功耗是矿粒直径的函数，而函数的形式是lgD，故用前法导出的计算平均直径的公式为：
两个公式都是加权几何平均法。
3.F.C.榜德（Bond）学说（1952）
F.C.榜德根据用一般碎矿和磨矿设备作试验得到的资料，整理成下面的经验公式。当应用榜德学说时，最好照他的这个经验公式及其中规定的各符号的意义，因为比较方便，还可以和榜德的许多研究相比较。
式中 F —给矿的80%能通过的方筛孔的宽，微米；
P —产品的80%能通过的方筛孔的宽，微米；
W —将—短吨（907.18公斤）粒度为F的给矿破碎到产品粒度为P所耗的功，千瓦•时/短吨；
Wi —功耗指标，即将“理论上无限大的粒度”破碎到80%可以通过100微米筛孔宽(或67%可以通过200目筛孔)时所需的功，千瓦•时/短吨
在建立上面经验公式之后,榜德作了如下的理论解释：破碎矿石时,外力作用的功首先是使物体发生变形,当局部变形超过临界点，即生成裂口，裂口形成之后,储在物体内的形变能即使裂口扩展并生成断面。输入功的有用部分转化为新生表面上的表面能，其他部分成为热损失。因此，破碎矿石所需的功,应当考虑形变能和表面能两项。形变能和体积成正比，表面能与表面积成正比。假定等量考虑这两项，所需的功应当同它们的几何平均值成正比，即与 成比例。对于单位体积的物体,就是与成比例。对于单位体积的物体,就是与成比例。
根据榜德所作的解释，采用推导前两个功耗学说的公工的方法，不难推出：
式中的K3为比例系数，其他符号与前面的相同。[next]
如果要计算给矿和产品的平均粒度，用推导公工（7）及（15）的方法，可以得到：
二、三个功耗学说的比较
外力作用于物体，先使它变形。到了一定程度，物体即生成微裂缝。能量集中在原有的和新生的微裂缝周围，使它扩展。对于脆性物料，在裂缝开始传播的瞬间即行破裂，因为此时能量已积蓄到可以造成破裂的程度。物料破裂之后,外力所作的功仅一部分转化为表面能，其余呈热能损失。因此，破坏物体所需的功包含形变能和表面能，即
式中各符号的意义和前面的相同。
近代的研究已证明上述的破坏过程，裂缝深度和裂缝扩大展速度都已有测定资料。例如玻璃的裂缝的最大扩展速度,理论值为2.0×105厘米/秒，观测值为1.5~2.0×105厘米/秒。榜德虽然引用裂缝长来说明他提出的经验公式，但不是以近代于裂缝的形成和扩展的研究为根据，而是为了解释他的经验公式自已作的假定。
由上面讲的物体的破裂过程，可以看出,这三个学说各看到破碎过程的一个阶段。吉尔皮切夫学说注意的是受外力发生变形的阶段，榜德学说注意到裂缝的形成和发展，雷廷格学说看到的是破碎后生成新表面。因此，它们都有片面性,但互不矛盾，却互相补充。
因为这三个学说各看到破碎过程的一个阶段，故每一个学说只能用在一定的破碎范围才较为可靠，有关功耗理论的文献中都指出：碎矿时的破碎比不大，新生表面积不多，形变能占主要部分,因而用吉尔皮切夫学说的误差较小。磨矿时破碎比大，新生表面积多，表面能是主要的,因而用雷廷格学说较适宜。榜德经验公工是用一般碎矿及磨矿设备作试验定出的，在中等破碎比的情况下，都大致与它符合。这个论断，已为R.T.胡基（Hukki）的试验所证实。
图1 破碎产物料度与比功耗的关系
Ⅰ—普通碎矿范围；Ⅱ—普通磨矿范围；Ⅲ—磨矿极限范围
R.T.胡基的试验结果总结如下图。仿照工业上的办法，用每段破碎比为10的几段连接破碎，求出各段的净功耗。从2~5段的功给符合榜德学说，但从100微米破碎到10微米以下，榜德学说求得的数据过于小，以雷廷格学说的较为合理。粗碎以上却以吉尔皮切夫学说为准确，榜德学说的结果不可靠,雷廷格学说差得太远。各学说在适合它的较狭的粒度范围内与实际情况相似，误差不大。但在很细磨的范围，即使雷廷格学说，也与实际情况不符合。
根据这些验证，应用各种功耗学说时，要注意各学说的适用范围，正确地加以选择。
破碎过程是很复杂的，建立这些学说时，许多影响因素未作考虑。例如结晶缺陷，矿石的裂缝和节理,矿石的湿度、粘度和不均匀性、矿块间的相互摩擦和挤压等，都会影响矿石的强度，从而影响到破碎它需要的功。因此，即使各学说用在适合它的范围，也只能得到近似的结果，还须用实际资料来校核。[next]
由于这些学说有片面性和近似性,故至今还在对它们不断地验证,并探寻更完善的新的理论。尽管它们存在这些缺点,但毕竟把矿石强度、给矿粒度、产品粒度和功耗四个重要项目的关系定出来了,在一定程度上反映了破碎过程的实质。只要我们认清它们的重要性和缺点，正确地应用它们，就可以为分析和研究破碎过程提供理论依据和方法。
三、功耗学说的应用举例
例：用榜德学说计算磨机的需用功率。
公式（17）及（18）中的各项都是可测的，关于功耗指标Wi，榜德曾制定了几种测定法。为了便于应用榜德公式,以后的研究者又提出了更简便的测定法，情况如下。
在相同条件下，用同一磨机分别磨细同样重量的标准矿石（功耗指标已知,Wi2=19.5千瓦•时/短吨，）和待测矿石（功耗指标Wil未知），从它们的给矿和产品的筛分分析曲线中找出的F值和P值如下：
待测矿石的 F1=960微米 P1=123微米
标准矿石的 F2=1130微米 P2=133微米
现在要为待测矿石选用磨机，它的处理能力是8.3短吨/时，给矿粒度是F=9500微米，
产品粒度是P=105微米，求这磨机的需用功率。
因为用同一磨机在同样条件下磨细同样重量的两种矿石所耗的功应当相等，故从公式（17）可以列出
故 Wi1=19.2千瓦.时/短吨
对于要选用的磨机的需用功率
此磨机的需用功率=16.78×8.3×1.34=186马力
（注：1千瓦=1.34英制马力）。
根据算得的需用功率，可从产品目录中选合适的磨机。
例：用吉尔皮切夫学说分析和研究碎矿机的功耗
应用这个学说时，必须掌握碎矿机的功耗，给矿和产品的粒度分析,物料的比重和极限强度与弹性模数等资料。对于组织不均匀的岩矿，它的极限强度和弹性模数须经多次试验求得的平均值才可靠。材料试验中测得的物料强度,与碎矿机中的有时不是一回事。例如，矿石在颚式碎矿机的齿板间受劈裂应力，它的抗劈裂强度约为抗拉强度的1.2倍,与材料试验中的抗压强度大不相同，故必须注意这些情况，才能较准确地应用这个学说。下面举一例说明用法。[next]
在碎矿机械的需用功率的研究中，Л.Ђ.列文逊（ЛеВеHCOH）应用此学说,对颚式、圆锥和对辊机的功率制订了一套理论公式。虽然它们尚待进一步研究和评价，但文献中常常引用，以对辊机为例，可看出他应用此学说的情况。
如下图，在两个辊子间，钳着直径为D的给矿。假定给矿块是大小相同的球体,并且沿对辊机长度L有n个矿块密接地排成一列。这些给入矿块的体积于是为
破碎后的矿料，由宽度为a的排矿口排出，假定这些产品块子都是同样大的直径为a的球体，并且n′个矿块沿长度密接地排成一列，它们的体积则为：
图2 对辊机夹碎矿块的情形
因为V2是已以破碎好了的矿料的体积，不再消耗能量,仅只体积为（V1-V2）的矿料需要能量去破碎。应用吉尔皮切夫学说，将一排直径为D的给矿破碎成直径为a的产品所需的功是
对于б=1250公斤/厘米2和E=200000公斤/厘米2的石灰石，
A=2.05L（D2-a2） 公斤•厘米
例：用雷廷格学说分析球磨机磨细燧石时新表面积产生的速率
公式（3）中的系数K1包含着固体的比表面能γ，它是极为难测的物理量,至今只有少数几种较纯物质的比表面能资料,例如NaCl的比表面能为0.46×10-7千瓦•时/米2 ,石英的为0.5×10-7千瓦•时/米2,金刚石的为(1~2)×10-6千瓦•时/米2。因此,要用K1等数据推算功耗的值A1是困难的,使此学说的应用受到限制。通常是用它来定性地分析问题；或测定A1及其他数据再求K1，但这样也不能算得固体的真实比表面能,因为测定的A1包含着耗于各方面的功。下面的例子说明：因为输入磨机的能量是不变的，磨矿时间越长，所耗的功越多,生成的比表面积也就越大。根据雷廷格学说,破碎所耗的功与新生表面积成正比。在输入磨机的能量不变的情况，磨矿时间应与新生表面积成正比。试验数据证实此理，因为比表面积与磨旷时间的比值几乎为常数。
| 磨矿时间（小时） | 比表面积（厘米2/克） | 比表面积/磨矿时间 |
| 13.513.52022242628303234 | 5430562078508350880092509550 102501105011450 1195012700 12400 | 404362392380367356341，366368358374365374 |
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