矿石工艺矿物学性质研究的重要方法之一，是在显微镜下对矿石中的主要有用和有害组分的含量、存在状态、矿物粒度、嵌镶关系以及矿石在破碎过程中的连生、解离状况，迅速作出可靠的结论。解答上叙问题经常采用的一种方法，就是在显微镜下观测一定数量的矿物颗粒。从最稳妥的设想出发，为了完整准确地作出判断，理想的作法是对所研究矿石试样的全部（矿物）颗粒进行观测。只是这种作法在实际工作中是很难实现的。因为从某种意义上来讲，对于任何一个矿石试样，在“颗粒数”这个问题上，实在是个名符其实的“无穷大”。因此，通常采取的办法是，用显微镜观测试样中有限的颗粒。其颗粒数的多少可以用2种办法决定。经验的作法是取1000~1500个观测点；另一种办法是根据数理统计原理求取一个合理的试样观测值。
一、参数标志量的分布函数
表征矿石某种性质的工艺矿物学参数，是镜下观测资料换算整理后的最终代表值。例如平均粒度和粒度分布柱状图，就是对矿物粒度逐个测试后予以数学处理的结果。颗粒的粒度值可称之为上两项参数的标志量。作完全类似的理解，单体的矿物颗粒数，自然也就是单体解离度参数的标志量。
地壳上各种成矿作用形成的矿物，是多种因素在时间与空间上综合作用的产物。其自身的元素组成及其晶体结构具有极强的统计规律性。故而，由它所决定的各项工艺矿物学参数标志量，也都无一例外地呈现出：大小连续变化、极差明显、某个标志量值能否成为观测值所必然具有的偶然性等特点。因此，参数标志量实为一连续随机变量，现以x表示之。
为此，设ω1，ω2，…，ωm是一个相互独立的随机变量序列，它们具体有有限的数学期望和方差
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矿石中矿物的生长，大都要受到以下各种因素的影响。这些因素有成矿溶液的有用元素浓度、结晶时的温度、压力 、冷却速度、元素周围的介质种类、数量和溶液的pH值。所有这些因素彼此独立地影响着矿物。由矿物集合而成的矿石的工艺矿物学参数，即是这许多偶然因素施加作用的总和。
如果以z1，z2，…，zm…分别代表以上各因素所能影响的参数标质量的各个别部分。则：
X = z1z2…zm…
两边取对数：
lnx = lnz1+lnz2+…lnzm+…
令lnx=y，lnz1 =ω1，lnz2 =ω2…
故： y =ω1+ω2+…ωn+…
我们知道，ω1，ω2…，ωn…中并不包含对标志量有显著影响的因素。这样，上面结论的题设条件得到满足。所以y服从正态分布。 不言而喻，y的反对数x，就必然服从对数-正态分布。
由此可以得出：矿石的工艺矿物学参数标志量x服从对数正态分布。该分布的分布函数为：
式中 σlnx——工艺矿物学参数标志量的对数的方差；
—
lnxg——工艺矿物学参数标志量几何平均值的对数。
二、方案设计的理论基础
数理统计是研究事物或现象统计规律的科学。它通过对有限观测资料的研究，查明统计规律，从而对所研究事物的整体进行推断，并定量地反映出事物的基本特征。现在面临的问题是要根据样本（镜下观测）资料，对总体（矿石试样）的工艺矿物学特征，诸如矿物的化学成分、粒度、形状、单体解离度等参数作出合乎实际情况的判断。但样本只是总体中的一个局部，由它来推断总体特征，当然不可能有百分之百的把握。相反地，倒有可能出现这样或那样的错误判断。例如矿石试样筛析产品单体解离度已合格，我们有可能根据样本作出不合格的判断。这类错误在数理统计上称为“第一类错误”；另一方面也有可能把事实上单体解离度不合格的试样筛析产品，错误地当做合格产品予以接受。它在数理统计上称为“第二类错误”。两类错误发生的概率分别用a，β来表示。
a=p（u-△u>b>u+△u），实际H+△lnx>h>H-△lnx
β=p（u-△u>b>u+△u），实际H+△lnx>h>H-△lnx[next]
如果以L（H；m，u）表示对于情况（u-△u
β=L（H；m，u）
对于所研究的问题，可以证明：
式中 H——矿石的某一项工艺矿物学参数；
△lnx——抽样误差范围；
h——参数最佳观测值；
u——抽样指标的最佳值；
△u——指标允许偏差；
b——抽样指标；
m——样本容量（镜下观测的矿物颗粒数）；
t——保证程度的几率度。
由于L（H；m，u）是H的单调下降函数，如果能找到一个方案，使之在2个控制点的2种错误发生的概率，分别与要求的a0，β0相等。并且方案的2个观测点a、β得到控制，那么方案里2类错误的发生概率就被控制住了。
为了使1次抽样镜下观测资料更有效更可靠（也就是要尽可能提高估计量的精确度，减少镜下观测时可能犯的2类错误），除了要求样本应有独立性和代表性外，对样本容量也是要有要求的。提高观测资料的精确性和可靠性，一方面要改进统计分析方法，使之能充分运用样本提供的资料来对试样总体作出估计和判断；另一方面便是如何在一定的人力、物力条件下，获取更多有用资料。前后两者加起来，就是要针对具体问题选择一个最合理的样本容量（矿物颗粒最佳观测数）。
三、方案设计
对于所分析的试样，可用M代表矿石样品中某种矿物的颗粒总数，则（M；m，u）即完整地构成了一次抽样镜下观测方案。对于矿石试样某类矿物颗粒为M的总体，随意观察到m个颗粒，并测试到某项参数的抽样指标为b，若u-△u
M（M+1）
固定的情况下，m，u变动，一次方案（M；m，u）将有————种方案可供选择。
2
现设试样总体M个颗粒中，某项工艺矿物学参数的全及指标为B，则B/M=H。当在M个颗粒中，镜下随意观察m个，并测试到抽样指标为b.此时b/m=h便是参数在样中的观测值。问题是，观测值h=b/m能否作为试样总体H=B/M的估计值？如果可以，这一估计值的抽样误差范围△lnx会有多大？对于前一问题，需要具体研究一下数学期望E（H）=E（b/m）；而后一问题的解决，有待于对均方差σh的计算。
这里b既可以看成是个随机变量（b=0，1，2，…，m），又可以当作是m个独立随机变量x1，x2，x3，…，xm的和数：
b= x1+x2+x3+…+xm
随机变量xi（i=1，2，3，…，m）的数值取决于第i个被观察到的矿物颗粒情况，同时，B是试样总体的全及指标：
B=MH
由样本可能求得的试样总体全及指标的估计值是：[next]
M
B的估计量= ——b
m
事实上这一估计值的数学期望便是试样总体的全及指标B：
M
E（——） = B = MH
m
b
所以 E（h） = E（—-） = H
m
b b B
即h = —的数学期望就是参数H。从而h = —便 可看作为参数H = —的估计值。另一方面，样本容
m m M
量m除各个x之和（抽样指标b），也可以看成是各个x的平均值。
— 1 b
x = -—（x1+x2+x3+…+xm） = — = h
m m
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