流体在多孔介质中的渗流

一、达西定律和渗透率

对于均质流体在多孔介质中的渗流，用达西定律来描述，在很多情况下证明是合适的。除了流体的流动速度极高，以及流速极低的气体是两个例外。

图1  达西渗滤实验

达西的古典渗流实验如图1所示。h代表渗滤层的高度，渗滤柱层的截面积为S，直径为d，渗滤层上下两端的压力分别为P₂和P₁。若以一均质流体自上而下流动，流速以体积流速Q'表示，则其渗滤速度v_渗为

v_渗＝ 或       （1）

以压力差表示，由于流动方向与压力方向相反，则

Q'＝－KeS             （2）

若设ρ和g均为常量，引入一个新常数K’e，则

Q'＝             （3）

式（1）和（3）均可称为达西定律。

常数K'e表征某种多孔介质对某一特定流体的渗透能力称为渗透系数，其值的大小由介质和流体两者的属性决定。努廷将这个常数规定为K'c＝K_渗／μ，则

Q'＝－             （4）

式中，μ－流体的粘度；

      K_渗－多孔介质的（比）渗透率。

堆浸作业中将经常涉及到渗透率K_渗和渗透系数K'e。前者表征多孔介质（或堆浸物料）的固有渗透性，而与流体无关。后者表示某一多孔介质对一特定流体的渗透性，其值大小由多孔介质和流体两者的性质所决定。

渗透率的单位，不同国家，不同行业有不同的表示方法。按照式（3）所表达的达西定律，则渗透率的量纲为L²。本文按照我国计量法的规定，渗透率的单位为cm／s。但许多文献，特别是西方的许多文献中多采用达西、毫达西来表示渗透率。对水而言，它们的换算关系为1cm/s＝1033.4达西。

二、单项饱和渗流的一般表达式

在多孔介质中，如果渗滤层的高度h很大，则达西定律的应用受到限制。A.E.薛定谔为了把式（3）所表达的达西定律推广应用到一般的单项饱和流体渗滤（各向同性的多孔介质），把渗滤层厚度h变成极小值，用压力梯度代替压力差，并用状态方程ρ＝ρ（P）和连续性条件即－e ＝div（ρV渗）与式（3）关联，得到单项饱和流在多孔介质中渗流的一般表达式如下：

－e ＝div          （5）

式中，e－多孔介质的孔隙度，

      ρ－流体的密度；

      μ－流体的粘度；

      K_渗－多孔介质的渗透率；

      gradP－流体的压力梯度；

      g－重力方向的向量，其值与重力相等。

三、未饱和流的表达式

式（5）中的渗流的流速与流体压力相关，故只适台于始终只有一种流体在饱和状态下流过多孔介质的流型，或者说，多孔介质中始终充满了同一种流体的流动时，该式方能应用。若把该式推广到多相流体同时在多孔介质中流动时，则必须作更大的修正。对未饱和流，渗流的速率与外加流体的压力关系不大，而与毛管压力Pe、饱和度Se等有函数关系。根据常规和实际情况，A.E.薛定谔把未饱和流中的空气压力视为0，则流体压力P_L＝Pe（S），只是方向相反。并假定水的密度恒为常数。于是他给出如下公式：

－e ＝div          （6）

式（6）中包括了未饱和流中的特征参数饱和度Se，毛管压力Pe，孔隙度e，相对渗透率Kw，K'e是渗透系数，ρ和g的物理含义如同式（5）。相对渗透率Kw与前面提到的渗透率K_渗不同，K_渗是多孔介质的属性，指的是饱和度为100%的状态下，多孔介质的渗透性；而Kw是未饱和流状态下，多孔介质在不同饱和度时的渗透性，它是饱和度的函数。随多孔介质饱和度不同，Kw显然不同。读者不难理解，对一特定多孔介质而言，饱和度为100%的相对渗透率Kw与渗透率K_渗是相等的。